Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
;
Passo 1
Ok, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de terceira ordem e três soluções dadas. Nosso objetivo é verificar se essas soluções formam um conjunto completo, escrever a solução geral da equação e, por fim, resolver o problema de valor inicial (PVI) que foi fornecido. Para tudo isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e soluções lineares independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se as funções
,
e
são soluções da equação diferencial dada:
Para isso, precisamos calcular as derivadas de cada função e substituir na equação para ver se ela é satisfeita.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Então,
é uma solução.
Passo 4
Agora, vamos para
:
Substituindo na equação:
Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar os cálculos:
De fato, há uma inconsistência. O correto é verificar se todas as soluções dadas satisfazem a equação. Se alguma não satisfizer, precisamos reconsiderar.
Passo 5
Vamos calcular novamente para
:
Substituindo:
Claramente, não está zero. Isso indica que
não é uma solução da equação diferencial dada. Portanto, precisamos reconsiderar o enunciado ou verificar se houve algum erro.
Passo 6
Parece que houve um equívoco na verificação de
. Vamos tentar calcular novamente com mais cuidado.
Derivadas de
:
Substituindo na equação:
Isso confirma que
não é uma solução da equação diferencial inicial. Portanto, deve haver um erro no enunciado ou nas soluções fornecidas.
Passo 7
Dado que
não satisfaz a equação diferencial, vamos focar nas outras soluções e construir a solução geral com elas. A solução geral de uma EDO linear de terceira ordem é uma combinação linear das soluções independentes:
Mas, como
não é solução, vamos considerar apenas
e
como soluções independentes e ajustar a solução geral:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
. As condições são:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 9
Aplicando as condições iniciais:
Para
:
Então,
.
Para
:
Portanto,
.
Passo 10
Finalmente, para
:
Como
, isso leva a uma inconsistência, o que reforça que houve um erro na verificação das soluções iniciais.
Passo 11
Dado os problemas encontrados ao verificar as soluções fornecidas, é provável que haja um erro no enunciado ou nas soluções apresentadas. Recomendo revisar o exercício para garantir que todas as funções fornecidas realmente satisfazem a equação diferencial ou se há alguma informação faltando.
Resposta
Após verificar, constatamos que as funções fornecidas não formam um conjunto completo de soluções para a equação diferencial dada. Portanto, não é possível determinar uma solução geral válida nem resolver o PVI com as funções apresentadas.
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Ache a solucao geral de
São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo
. Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
;
Ache a solucao geral de
(Ache solucao particular de
, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.