Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
x^3 y'''' + 6 x^2 y'' + 4 x y' - 4 y = 0, x > 0;
y(1)=0, y'(1)=0, y''(1)=1, y1(x)=x, y2(x)=x^2, y3(x)=x^(-2) ln(x)

Passo 1

Ok, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de terceira ordem e três soluções dadas. Nosso objetivo é verificar se essas soluções formam um conjunto completo, escrever a solução geral da equação e, por fim, resolver o problema de valor inicial (PVI) que foi fornecido. Para tudo isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e soluções lineares independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se as funções , e são soluções da equação diferencial dada:
Para isso, precisamos calcular as derivadas de cada função e substituir na equação para ver se ela é satisfeita.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Substituindo na equação:
Então, é uma solução.

Passo 4

Agora, vamos para :
Substituindo na equação:
Parece que houve um erro aqui. Vamos revisar os cálculos:
De fato, há uma inconsistência. O correto é verificar se todas as soluções dadas satisfazem a equação. Se alguma não satisfizer, precisamos reconsiderar.

Passo 5

Vamos calcular novamente para :
Substituindo:
Claramente, não está zero. Isso indica que não é uma solução da equação diferencial dada. Portanto, precisamos reconsiderar o enunciado ou verificar se houve algum erro.

Passo 6

Parece que houve um equívoco na verificação de . Vamos tentar calcular novamente com mais cuidado.
Derivadas de :
Substituindo na equação:
Isso confirma que não é uma solução da equação diferencial inicial. Portanto, deve haver um erro no enunciado ou nas soluções fornecidas.

Passo 7

Dado que não satisfaz a equação diferencial, vamos focar nas outras soluções e construir a solução geral com elas. A solução geral de uma EDO linear de terceira ordem é uma combinação linear das soluções independentes:
Mas, como não é solução, vamos considerar apenas e como soluções independentes e ajustar a solução geral:

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e . As condições são:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 9

Aplicando as condições iniciais:
Para :
Então, .
Para :
Portanto, .

Passo 10

Finalmente, para :
Como , isso leva a uma inconsistência, o que reforça que houve um erro na verificação das soluções iniciais.

Passo 11

Dado os problemas encontrados ao verificar as soluções fornecidas, é provável que haja um erro no enunciado ou nas soluções apresentadas. Recomendo revisar o exercício para garantir que todas as funções fornecidas realmente satisfazem a equação diferencial ou se há alguma informação faltando.

Resposta

Após verificar, constatamos que as funções fornecidas não formam um conjunto completo de soluções para a equação diferencial dada. Portanto, não é possível determinar uma solução geral válida nem resolver o PVI com as funções apresentadas.

Exercícios relacionados

Ache a solucao geral de
y'' - 4y' + 3y = e^(3t)
São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma EDO de terceira ordem linear, homogênea, e com coeficientes contínuos em toda a reta. Determine, usando o Wronskiano, se as funções dadas são linearmente independentes ou linearmente dependentes no intervalo (-infinito, infinito). Caso sejam linearmente dependentes, escreva uma delas como combinação linear das outras.
f1(x)=x, f2(x)=x^2, f3(x)=x^(-1);
Ache a solucao geral de
y'' - 2y' + y = t + e^t
(Ache solucao particular de y'' - 2y' + y = t, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -x + 2y, dy/dt = x }