Ache a solucao geral de
y'' - 2y' + y = t + e^t
(Ache solucao particular de y'' - 2y' + y = t, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução homogênea (solução da equação sem os termos não homogêneos) e das soluções particulares para cada termo não homogêneo. Vamos usar o princípio da superposição, que nos permite somar soluções particulares para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como temos uma raiz real dupla , a solução da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Assumimos que a solução particular tem a forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a parte não homogênea . Como é uma solução da equação homogênea, precisamos multiplicar por para obter uma solução particular:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Isso indica que precisamos multiplicar por . Então, tentamos:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Logo, . Portanto, a solução particular é:

Passo 5

Utilizando o princípio da superposição, somamos as soluções particulares encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
x^3 y'''' + 6 x^2 y'' + 4 x y' - 4 y = 0, x > 0;
y(1)=0, y'(1)=0, y''(1)=1, y1(x)=x, y2(x)=x^2, y3(x)=x^(-2) ln(x)
Ache a solucao geral de
y'' - 4y' + 3y = e^(3t)
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -x + 2y, dy/dt = x }
Aclu a solucao de coda um dos problemas de valor inicial abaixo
(a) y'' - 3y' + 2y = 0
y(0)=1, y'(0)=0