Aclu a solucao de coda um dos problemas de valor inicial abaixo
(a) y'' - 3y' + 2y = 0
y(0)=1, y'(0)=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de valor inicial dada:
com as condições iniciais:
Este problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, precisaremos encontrar a solução geral da equação característica associada e então determinar os coeficientes que satisfazem as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, formamos a equação característica substituindo na equação diferencial:
Resolvendo essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 3

Resolvemos a equação característica:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são:

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas ( ), a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Agora, derivamos y(t) para encontrar :
Aplicamos a segunda condição inicial :

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo na equação (1):

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

Exercícios relacionados

Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -x + 2y, dy/dt = x }
Ache a solucao geral de
y'' - 2y' + y = t + e^t
(Ache solucao particular de y'' - 2y' + y = t, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
dx/dt = x + y; dy/dt = x + 3y
(n) a / b^(-1) + (a / b)^(-1)