Aclu a solucao de coda um dos problemas de valor inicial abaixo
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de valor inicial dada:
com as condições iniciais:
Este problema pertence ao estudo de equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem. Para resolver, precisaremos encontrar a solução geral da equação característica associada e então determinar os coeficientes que satisfazem as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, formamos a equação característica substituindo
na equação diferencial:
Resolvendo essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvemos a equação característica:
Podemos fatorar:
Então, as raízes são:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas (
), a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicamos a segunda condição inicial
:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Subtraindo a equação (1) da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
Exercícios relacionados
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
Ache a solucao geral de
(Ache solucao particular de
, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
(n)