Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
{ dx/dt = -x + 2y, dy/dt = x }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi proposto. O que a gente precisa fazer aqui é:
  1. Encontrar a solução geral do sistema: Isso significa descobrir as funções e que satisfazem as equações dadas.
  2. Determinar e classificar o ponto de equilíbrio em : O ponto de equilíbrio é onde as taxas de variação de e são zero. Nós vamos ver se esse ponto é estável, instável, ou se tem outro comportamento quando o tempo tende para o infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e teoria de equações diferenciais, mas vou explicar cada passo de forma bem simples.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada:
Esse é um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 3

Para resolver esse sistema, a gente pode usar o método dos autovalores. Vamos representar o sistema na forma matricial:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os autovalores ( ) dessa matriz . Para isso, vamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Calculando:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática :
Então, os autovalores são:

Passo 6

Com os autovalores encontrados, podemos agora encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Então, um autovetor é
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Então, um autovetor é

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema pode ser escrita como:
Substituindo os valores encontrados:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 8

Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em . Um ponto de equilíbrio ocorre quando e .
Resolvendo:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira: . Então, o ponto de equilíbrio é .

Passo 9

Para classificar o ponto de equilíbrio, observamos os autovalores:
Quando um sistema linear tem autovalores de sinais opostos, o ponto de equilíbrio é chamado de ponto de sela.
Isso significa que as soluções se comportam de maneira instável: há direções em que as soluções se afastam do ponto de equilíbrio e outras em que se aproximam.

Resposta

A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em é uma sela, sendo instável. Isso significa que, conforme tende para o infinito, as soluções se afastam do ponto de equilíbrio em algumas direções e se aproximam em outras.

Exercícios relacionados

Ache a solucao geral de
y'' - 2y' + y = t + e^t
(Ache solucao particular de y'' - 2y' + y = t, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).
Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
x^3 y'''' + 6 x^2 y'' + 4 x y' - 4 y = 0, x > 0;
y(1)=0, y'(1)=0, y''(1)=1, y1(x)=x, y2(x)=x^2, y3(x)=x^(-2) ln(x)
Aclu a solucao de coda um dos problemas de valor inicial abaixo
(a) y'' - 3y' + 2y = 0
y(0)=1, y'(0)=0
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em (x, y) = (0, 0), explicando o que acontece quando t -> infinito.
dx/dt = x + y; dy/dt = x + 3y