Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi proposto. O que a gente precisa fazer aqui é:
- Encontrar a solução geral do sistema: Isso significa descobrir as funções
e que satisfazem as equações dadas. - Determinar e classificar o ponto de equilíbrio em
: O ponto de equilíbrio é onde as taxas de variação de e são zero. Nós vamos ver se esse ponto é estável, instável, ou se tem outro comportamento quando o tempo tende para o infinito.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de sistemas lineares e teoria de equações diferenciais, mas vou explicar cada passo de forma bem simples.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada:
Esse é um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 3
Para resolver esse sistema, a gente pode usar o método dos autovalores. Vamos representar o sistema na forma matricial:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os autovalores (
) dessa matriz
. Para isso, vamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Calculando:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Com os autovalores encontrados, podemos agora encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Então, um autovetor é
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Então, um autovetor é
Passo 7
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema pode ser escrita como:
Substituindo os valores encontrados:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 8
Agora, vamos analisar o ponto de equilíbrio em
. Um ponto de equilíbrio ocorre quando
e
.
Resolvendo:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
. Então, o ponto de equilíbrio é
.
Passo 9
Para classificar o ponto de equilíbrio, observamos os autovalores:
Quando um sistema linear tem autovalores de sinais opostos, o ponto de equilíbrio é chamado de ponto de sela.
Isso significa que as soluções se comportam de maneira instável: há direções em que as soluções se afastam do ponto de equilíbrio e outras em que se aproximam.
Resposta
A solução geral do sistema é:
O ponto de equilíbrio em
é uma sela, sendo instável. Isso significa que, conforme
tende para o infinito, as soluções se afastam do ponto de equilíbrio em algumas direções e se aproximam em outras.
Exercícios relacionados
Ache a solucao geral de
(Ache solucao particular de
, use superposicao e a solucao particular obtida no exercicio 4).
Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
;
Aclu a solucao de coda um dos problemas de valor inicial abaixo
(a)
(a)
Considere os sistemas abaixo. Em cada caso: (i) encontre a solução geral do sistema; (ii) determine e classifique o ponto de equilíbrio em
, explicando o que acontece quando
.