Ache a solução para o movimento de um corpo sujeito à força linear repulsiva F=k x. Mostre que este tipo de movimento é o esperado em torno de um ponto de equilibrio instável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai falar sobre o movimento de um corpo que está submetido a uma força linear repulsiva, dada por . O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica clássica, especificamente as leis de Newton e a análise de equilíbrio. Precisamos saber aplicar a segunda lei de Newton e resolver uma equação diferencial simples para achar a solução do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que m cdot a = kx , onde m cdot d^2xdt^2 = kx é a força, é a massa do corpo e é a aceleração. No nosso caso, a força é , então podemos escrever:
Como aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo , temos:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a solução:
d^2xdt^2 - kmx = 0
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A solução geral dessa equação tem a forma:
x(t) = C1 e^raizkm t + C2 e^-raizkm t
Onde e são constantes que determinam as condições iniciais do movimento.

Passo 4

Vamos analisar o ponto de equilíbrio. O ponto de equilíbrio ocorre quando a força , ou seja, quando . Agora, observando a solução que encontramos, vemos que se for diferente de zero, o termo cresce exponencialmente com o tempo, indicando que qualquer pequeno deslocamento do ponto de equilíbrio vai crescer sem limites. Isso significa que o ponto de equilíbrio em é instável.

Resposta

A solução para o movimento do corpo é:
x(t) = C1 e^raizkm t + C2 e^-raizkm t
Além disso, esse tipo de movimento confirma que o ponto de equilíbrio em é instável, já que pequenas perturbações fazem o sistema afastar-se cada vez mais desse ponto.

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