Ache a solução para o movimento de um corpo sujeito à força linear repulsiva
. Mostre que este tipo de movimento é o esperado em torno de um ponto de equilibrio instável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai falar sobre o movimento de um corpo que está submetido a uma força linear repulsiva, dada por
. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica clássica, especificamente as leis de Newton e a análise de equilíbrio. Precisamos saber aplicar a segunda lei de Newton e resolver uma equação diferencial simples para achar a solução do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da segunda lei de Newton, que diz que
, onde
é a força,
é a massa do corpo e
é a aceleração. No nosso caso, a força é
, então podemos escrever:
Como aceleração
é a segunda derivada da posição
em relação ao tempo
, temos:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a solução:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A solução geral dessa equação tem a forma:
Onde
e
são constantes que determinam as condições iniciais do movimento.
Passo 4
Vamos analisar o ponto de equilíbrio. O ponto de equilíbrio ocorre quando a força
, ou seja, quando
. Agora, observando a solução que encontramos, vemos que se
for diferente de zero, o termo
cresce exponencialmente com o tempo, indicando que qualquer pequeno deslocamento do ponto de equilíbrio vai crescer sem limites. Isso significa que o ponto de equilíbrio em
é instável.
Resposta
A solução para o movimento do corpo é:
Além disso, esse tipo de movimento confirma que o ponto de equilíbrio em
é instável, já que pequenas perturbações fazem o sistema afastar-se cada vez mais desse ponto.