Considere um impulso descrito em termos do seu perfil em t=0, matematicamente dado por
y(x, t)=22+x^2
Desenhe a forma da onda. Escreva uma expressão para a onda que se supõe propagarse com velocidade v segundo o sentido negativo do eixo dos x, em função do tempo t , Desenhe a forma da onda em t=2 s para v=1 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a forma de uma onda no instante inicial , que é dada por . Nosso objetivo é:
  1. Desenhar essa forma de onda inicial.
  2. Escrever uma expressão matemática que mostre como essa onda se move para a esquerda (sentido negativo do eixo ) com uma velocidade .
  3. Desenhar a forma da onda após 2 segundos, considerando que .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de propagação de ondas e funções matemáticas para descrever o movimento da onda no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da onda inicial . Essa é uma função que descreve a amplitude da onda em cada posição no instante .
Para desenhar essa onda, podemos plotar alguns pontos:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • E assim por diante.
Isso nos mostra que a onda tem um pico no centro ( ) e decai à medida que nos afastamos desse ponto.

Passo 3

Agora, vamos escrever a expressão para a onda que se propaga no sentido negativo do eixo y(x, t) = y(x + vt, 0) com velocidade y(x, t) = 22 + (x + vt)^2 . Para isso, usamos a equação geral de uma onda que se move para a esquerda:
Isso significa que a forma da onda original é deslocada para a esquerda à medida que o tempo passa.
Substituindo a função inicial na equação, temos:
Essa é a expressão que descreve a onda em qualquer instante .

Passo 4

Agora, vamos desenhar a forma da onda no instante y(x, 2) = 22 + (x + 1 times 2)^2 = 22 + (x + 2)^2 com .
Primeiro, substituímos e na expressão que encontramos:
Isso significa que a onda original se deslocou 2 unidades para a esquerda no eixo .
Para desenhar, vamos plotar alguns pontos novamente:
  • Quando :
  • Quando :
  • Quando :
  • E assim por diante.
Isso confirma que a onda se deslocou para a esquerda, mantendo sua forma.

Resposta

A forma da onda que se propaga para o sentido negativo do eixo y(x, 2) = 22 + (x + 2)^2 com velocidade no instante é dada por:
E o desenho dessa onda mostra que ela se deslocou 2 unidades para a esquerda, mantendo o pico central no ponto .

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