Um barco cuja velocidade inicial é v0 é freado por uma força de arrasto: F=-b v^2. Determine v(t) e x(t).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um barco que tá andando com uma velocidade inicial v0, mas uma força de arrasto, que é tipo um freio para o barco, está agindo sobre ele. Essa força de arrasto é dada por F = -b v^2, onde b é uma constante e v é a velocidade do barco. Nosso objetivo é descobrir como a velocidade v(t) e a posição x(t) do barco mudam com o tempo.

Passo 2

Vamos começar aplicando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração: F = m cdot a. Aqui, a força de arrasto é a única força agindo, então podemos escrever:
F = m dvdt

Passo 3

Sabemos que a força de arrasto é F = -b v^2. Substituindo isso na equação acima, temos:
-b v^2 = m dvdt
Agora, a gente vai rearranjar essa equação para separar as variáveis v e t:
dvv^2 = -bm dt

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar v(t). A integral de 1v^2 dv é -1v, e a integral de -bm dt é -bm t + C, onde C é a constante de integração:
-1v = -bm t + C
Agora, resolvendo para v:
1v = bm t - C
Vamos determinar a constante C usando a condição inicial. Quando t = 0, v = v0:
1v0 = -C
Então, C = -1v0. Substituindo de volta:
1v = bm t + 1v0
Invertendo ambos os lados para isolar v:
v(t) = 1bm t + 1v0 = v01 + b v0m t

Passo 5

Agora que temos v(t), podemos encontrar a posição x(t) integrando a velocidade. Então:
x(t) = integral v(t) , dt = integral v01 + b v0m t , dt
Essa integral é da forma integral 1a t + 1 dt = 1a ln(a t + 1) + C. Aplicando isso:
x(t) = mb ln(1 + b v0m t) + C
Usando a condição inicial x(0) = 0 para encontrar C = 0:
x(t) = mb ln(1 + b v0m t)

Resposta

As expressões para a velocidade e a posição do barco em função do tempo são:
v(t) = v01 + b v0m t
e
x(t) = mb ln(1 + b v0m t)

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