Mostre que, se o deslocamento de uma corda for dado por
psi(x, t)=A sen(k x-omega t+varepsilon)
a mão que gera a onda deve deslocar-se verticalmente com um movimento harmônico simples.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a equação que descreve o deslocamento de uma corda em função da posição psi(x, t) = A sin(k x - omega t + varepsilon) e do tempo :
Nosso objetivo é mostrar que a mão que está gerando essa onda está se movendo verticalmente de forma harmônica simples. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas e movimento harmônico simples, então vamos por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa essa equação. é o deslocamento da corda no ponto e no tempo . A equação é uma onda senoidal, que é uma forma típica de onda que se propaga em uma direção.
Aqui, é a amplitude da onda (o quão alta ela vai), é o número de onda (relacionado ao comprimento da onda), é a frequência angular (relacionada à rapidez da oscilação), e é uma fase inicial (um ajuste no ponto de partida da onda).

Passo 3

Agora, vamos focar na mão que gera a onda. Essa mão está em um ponto fixo da corda, digamos psi(0, t) = A sin(k cdot 0 - omega t + varepsilon) . Então, para encontrar o movimento dessa mão, vamos substituir psi(0, t) = A sin(- omega t + varepsilon) na equação da onda:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais a equação:
psi(0, t) = A sin(varepsilon - omega t)
Lembrando que psi(0, t) = -A sin(omega t - varepsilon) , podemos reescrever como:
Isso mostra que o deslocamento da mão em varia com o tempo de forma senoidal.

Passo 5

O movimento descrito por é exatamente o que chamamos de Movimento Harmônico Simples (MHS). No MHS, a posição varia sinusoidalmente com o tempo, e a velocidade e a aceleração também têm comportamentos oscilatórios.
Portanto, a mão que gera a onda está se movendo verticalmente seguindo um MHS, já que seu deslocamento varia de forma senoidal com o tempo.

Resposta

A mão que gera a onda desloca-se verticalmente seguindo um movimento harmônico simples, já que descreve um MHS.

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