Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
Passo 1
Então, temos a equação diferencial
com a condição inicial
. Vamos resolver essa equação usando métodos de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente tratando-a como uma equação linear. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão e encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para a forma padrão de uma equação diferencial linear, que é
. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para que o lado esquerdo seja a derivada do produto
.
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
para resolver para
:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
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