Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para resolver a equação diferencial
. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especialmente aquelas que podem ser separadas ou resolvidas por fator integrante. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Podemos organizar os termos de
e
:
Podemos isolar
:
Passo 3
Agora, percebemos que essa equação é separável, ou seja, conseguimos colocar todas as funções de
de um lado e as de
do outro. Vamos separar as variáveis:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados agora. A integral do lado esquerdo é relativamente simples:
No lado direito, temos:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição
, então
. A integral fica:
Passo 5
Agora, juntamos os resultados das integrais:
Onde
é uma constante geral.
Passo 6
Vamos resolver para
isolando-o. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Onde
.
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Multiplicando por
:
Podemos simplificar a constante
para apenas
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante de integração.
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