Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para resolver a equação diferencial . Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, especialmente aquelas que podem ser separadas ou resolvidas por fator integrante. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar. Podemos organizar os termos de e :
Podemos isolar :

Passo 3

Agora, percebemos que essa equação é separável, ou seja, conseguimos colocar todas as funções de de um lado e as de do outro. Vamos separar as variáveis:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados agora. A integral do lado esquerdo é relativamente simples:
No lado direito, temos:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição , então . A integral fica:

Passo 5

Agora, juntamos os resultados das integrais:
Onde é uma constante geral.

Passo 6

Vamos resolver para isolando-o. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Onde .
Agora, aplicamos o logaritmo natural:
Multiplicando por :
Podemos simplificar a constante para apenas :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante de integração.

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