Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial de primeira ordem:
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a transformar a equação em algo que a gente consegue integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação linear:
. Para isso, dividimos todos os termos por
(assumindo que
):
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Como estamos trabalhando com
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
A beleza do fator integrante é que o lado esquerdo agora é a derivada de
. Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Passo 6
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
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Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.