Resolva a equação diferencial de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial de primeira ordem: . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a transformar a equação em algo que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão de uma equação linear: . Para isso, dividimos todos os termos por (assumindo que ):
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :
Como estamos trabalhando com , podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

A beleza do fator integrante é que o lado esquerdo agora é a derivada de . Então, podemos escrever:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :

Passo 6

Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

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Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.