Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Este problema envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar aplicar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções particulares para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares: . Para isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Portanto, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante :
Simplificando, temos:
A expressão à esquerda agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Resolva a equação diferencial.
Ache e .
Encontre o ponto da curva mais próximo da origem.
Dica: minimize a função distância e use como restrição.