Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Este problema envolve equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos precisar aplicar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar soluções particulares para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
. Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pela fator integrante
:
Simplificando, temos:
A expressão à esquerda agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Resolva a equação diferencial.
Ache
e
.
Encontre o ponto da curva
mais próximo da origem.
Dica: minimize a função distância e use
como restrição.
Dica: minimize a função distância