Resolva a equação diferencial de primeira ordem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: . A gente vai usar os métodos de equações lineares de primeira ordem, que envolvem encontrar um fator integrante para simplificar a equação e conseguir resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é . Para isso, a gente divide todos os termos por :

Passo 3

Agora, identificamos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por .
Vamos calcular a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando os termos:

Passo 5

A ideia de usar o fator integrante é transformar o lado esquerdo da equação em uma derivada total. De fato:
Então, nossa equação fica:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:

Passo 6

Agora, resolvemos para :
Podemos simplificar um pouco mais:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada. com e
Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
Ache e .