Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem:
. A gente vai usar os métodos de equações lineares de primeira ordem, que envolvem encontrar um fator integrante para simplificar a equação e conseguir resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é
. Para isso, a gente divide todos os termos por
:
Passo 3
Agora, identificamos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por
.
Vamos calcular a integral de
:
Então, o fator integrante é:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando os termos:
Passo 5
A ideia de usar o fator integrante é transformar o lado esquerdo da equação em uma derivada total. De fato:
Então, nossa equação fica:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Podemos simplificar um pouco mais:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Resolva a equação diferencial.
Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
com
e
Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
Ache
e
.