Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que foi passada:
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e manipulação de funções trigonométricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. A equação original é:
Vamos mover o termo com
para o outro lado:
Agora, isolamos
:
Lembrando que
é a tangente de
, e
é a secante de
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão de
. Sabemos que:
Substituindo na equação:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro. Começamos reescrevendo a equação:
Multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
:
Pronto, agora as variáveis estão separadas!
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Começando pela integral da esquerda:
Agora, a integral da direita. Para resolver
, usamos integração por partes, onde escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 6
Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 7
Finalmente, isolamos
para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
com
e
Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
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