Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que foi passada: . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e manipulação de funções trigonométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. A equação original é:
Vamos mover o termo com para o outro lado:
Agora, isolamos :
Lembrando que é a tangente de , e é a secante de .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão de . Sabemos que:
Substituindo na equação:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar tudo que envolve de um lado e tudo que envolve do outro. Começamos reescrevendo a equação:
Multiplicamos ambos os lados por e dividimos por :
Pronto, agora as variáveis estão separadas!

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Começando pela integral da esquerda:
Agora, a integral da direita. Para resolver , usamos integração por partes, onde escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 6

Agora, igualamos as duas integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 7

Finalmente, isolamos para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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