Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
com
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com as condições iniciais
e
. A gente está lidando com equações diferenciais de segunda ordem e vamos precisar conhecer um pouco sobre soluções gerais e particulares dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, então
. Resolvendo para
:
Passo 3
Com os valores de
sendo complexos, a solução geral é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda condição
. Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
Aplicando
:
Resposta
A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:
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