Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada. com e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com as condições iniciais e . A gente está lidando com equações diferenciais de segunda ordem e vamos precisar conhecer um pouco sobre soluções gerais e particulares dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução geral da equação homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, então . Resolvendo para :

Passo 3

Com os valores de sendo complexos, a solução geral é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Vamos aplicar a primeira condição inicial :

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda condição . Primeiro, encontramos a derivada da solução geral:
Aplicando :

Resposta

A solução particular que satisfaz as condições iniciais é:

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