Resolva a equação diferencial de primeira ordem. x y' + y + x = e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem: . Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o fator integrante e integrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear: . Para isso, dividimos tudo por :
Agora, reorganizando:

Passo 3

Identificamos agora e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
O que resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :
Podemos escrever isso como:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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