Resolva a equação diferencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante. Vamos passo a passo entender como resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Um método comum para encontrar um fator integrante é assumir que ele depende apenas de ou apenas de . Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de , ou seja, .
Multiplicamos toda a equação por :
Para que a equação seja exata, deve-se cumprir:
Calculando:
Igualando:
Aqui vemos que não conseguimos expressar em termos de apenas, já que há presença de . Portanto, nosso pressuposto de que depende apenas de não funciona. Vamos tentar assumir que depende apenas de .

Passo 5

Assumindo , multiplicamos a equação:
Para exatidão:
Calculando:
Igualando:
Podemos dividir ambos os lados por :
Esta é uma equação diferencial ordinária para .

Passo 6

Vamos resolver a equação .
Reescrevendo:
Esta é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando fator integrante ou através de separação de variáveis.
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Podemos escolher para simplificar:

Passo 7

Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
A equação agora é exata. Podemos integrar em relação a :
Agora, derivamos essa expressão em relação a e igualamos a :
Integrando:
Então, a solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Resolva a equação diferencial.
Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada. com e