Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante. Vamos passo a passo entender como resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Onde:
Para verificar se a equação é exata, precisamos ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Um método comum para encontrar um fator integrante é assumir que ele depende apenas de
ou apenas de
. Vamos tentar um fator integrante que depende apenas de
, ou seja,
.
Multiplicamos toda a equação por
:
Para que a equação seja exata, deve-se cumprir:
Calculando:
Igualando:
Aqui vemos que não conseguimos expressar
em termos de
apenas, já que há presença de
. Portanto, nosso pressuposto de que
depende apenas de
não funciona. Vamos tentar assumir que
depende apenas de
.
Passo 5
Assumindo
, multiplicamos a equação:
Para exatidão:
Calculando:
Igualando:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Esta é uma equação diferencial ordinária para
.
Passo 6
Vamos resolver a equação
.
Reescrevendo:
Esta é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando fator integrante ou através de separação de variáveis.
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Exponentiando:
Podemos escolher
para simplificar:
Passo 7
Agora, multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
A equação agora é exata. Podemos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos a
:
Integrando:
Então, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Resolva a equação diferencial.
Resolva a equação diferencial de primeira ordem.
Ache a solução particular da equação diferencial que satisfaz a condição dada.
com
e