Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial que relaciona a taxa de variação de
em relação ao tempo
e uma condição inicial. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) do tipo separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar a equação que temos:
Essa é uma equação diferencial do tipo separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 3
Vamos separar as variáveis. Para isso, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Agora, cada lado da equação tem apenas uma variável, o que facilita a integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração de
é
e a de
é
. Então temos:
Aqui,
é a constante de integração que vamos determinar usando a condição inicial.
Passo 5
Vamos resolver para
. Primeiro, aplicamos a exponencial em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Podemos chamar
de outra constante, digamos
, então:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
:
Resposta
A solução particular da EDO é:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.5) esfera e pelos cones
e
(1.5) esfera
É verdade que, se
é uma série divergente de números positivos, também existe uma série divergente
de números positivos com
para cada
? Existe uma
Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Teoria e exemplos
Para quais valores de
, se houver algum, as séries nos Exercícios 41 e 42 convergem?
41.
41.
Calcule as integrais triplas
para o sólido
limitado pelos objetos listados abaixo e para a
apontada:
(1.7) esfera , plano
e pelos cones
e
;
(1.7) esfera