Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
y' = y / x + (2 x^3 / y) cos(x^2), y(raiz(pi / 2)) = raiz(pi)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) que é separável e um valor inicial para encontrar a solução particular. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Vamos começar reescrevendo a equação para facilitar a separação das variáveis. Nossa equação é:
Podemos escrever como , então:

Passo 3

Agora, vamos rearranjar os termos para separar e . Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis e . Subtraímos de ambos os lados:
Podemos escrever o lado esquerdo como:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo simplifica para:

Passo 6

Vamos resolver a segunda integral do lado direito. Usaremos substituição para a integral .
Seja , então . Porém, precisamos de , então reescrevemos:
Como , , então:
Isso pode ser resolvido por integração por partes.

Passo 7

Usando integração por partes para :
Seja:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Voltando para :

Passo 8

Agora, substituímos de volta na equação original:
Assumindo que é uma função de que pode ser isolada, para simplificação, consideramos que o termo é absorvido na constante de integração ou resolvemos de outra forma dependendo das condições iniciais.

Passo 9

Aplicando a condição inicial , substituímos e na equação para encontrar a constante :
Simplificando:
Sabemos que e , então:

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada é:

Exercícios relacionados

Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.2) limitado pelo plano z = 0 e pelo hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = a^2, z ≥ 0, em relação ao seu eixo, com densidade constante sigma_0
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
y * y' + 4 * x = 0, y(0) = 3
Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois das funções abaaixo nos pontos indicados:
(8.2) f(x, y) = e^x * raiz(1 + y^2) em P=(0,0)
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(x - y)(1 - y') = 0