Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial ordinária (EDO) que é separável e um valor inicial para encontrar a solução particular. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrar ambos os lados da equação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Vamos começar reescrevendo a equação para facilitar a separação das variáveis. Nossa equação é:
Podemos escrever
como
, então:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar os termos para separar
e
. Vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Subtraímos
de ambos os lados:
Podemos escrever o lado esquerdo como:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 6
Vamos resolver a segunda integral do lado direito. Usaremos substituição para a integral
.
Seja
, então
. Porém, precisamos de
, então reescrevemos:
Como
,
, então:
Isso pode ser resolvido por integração por partes.
Passo 7
Usando integração por partes para
:
Seja:
-
então -
então
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Voltando para
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na equação original:
Assumindo que
é uma função de
que pode ser isolada, para simplificação, consideramos que o termo
é absorvido na constante de integração ou resolvemos de outra forma dependendo das condições iniciais.
Passo 9
Aplicando a condição inicial
, substituímos
e
na equação para encontrar a constante
:
Simplificando:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.2) limitado pelo plano e pelo hemisfério
, em relação ao seu eixo, com densidade constante
(7.2) limitado pelo plano
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois das funções abaaixo nos pontos indicados:
(8.2) em
(8.2)
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.