Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
O objetivo é verificar se essa EDO é exata. Se não for, a gente precisa encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois disso, vamos resolver a equação e, se tiver uma condição inicial, encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma EDO exata. Uma EDO na forma:
é chamada de exata se existir uma função
tal que:
Para testar se a EDO é exata, a gente verifica se:
Passo 3
Vamos reescrever a EDO dada para o formato padrão:
Podemos expandir isso para:
Rearranjando os termos:
Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se a EDO é exata:
Como
, a EDO não é exata.
Passo 5
Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante. Um método simples é tentar um fator que dependa apenas de
ou
.
Vamos supor que o fator integrante
dependa apenas de
. Então:
Para que essa nova equação seja exata, deve valer:
Substituindo os valores que já temos:
Percebo que essa abordagem está complicando, então vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de
.
Passo 6
Assumindo que
depende apenas de
:
A condição para exatidão fica:
Ainda fica dependente de
e
, o que não resolve. Então, vamos tentar um fator integrante que seja função de
.
Passo 7
Assumindo
, onde
é uma constante a ser determinada.
Vamos multiplicar a EDO original por
:
Para que seja exata, deve-se verificar:
Calculando as derivadas:
Left side:
Right side:
Para que sejam iguais:
Isso implica:
O que não é possível. Portanto, esse fator não funciona. Vamos então tentar outro método.
Passo 8
Dado que os métodos anteriores não funcionaram, podemos resolver a EDO diretamente.
A equação original é:
Isso implica que ou:
-
, ou -
Vamos resolver cada caso separadamente.
Passo 9
Caso 1:
Isso significa que:
Essa é uma solução da EDO.
Caso 2:
Resolvendo para
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Portanto, as soluções gerais da EDO são:
Resposta
As soluções da EDO são todas as funções
e
, onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois das funções abaaixo nos pontos indicados:
(8.2) em
(8.2)
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
Determine se a série
converge ou diverge. Justifique sua resposta.
Escreva a forma quadrática
associada à matriz simétrica
e classifique-a (positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida, negativa semidefinida):
(9.2)
(9.2)