Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(x - y)(1 - y') = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
O objetivo é verificar se essa EDO é exata. Se não for, a gente precisa encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois disso, vamos resolver a equação e, se tiver uma condição inicial, encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma EDO exata. Uma EDO na forma:
é chamada de exata se existir uma função tal que:
Para testar se a EDO é exata, a gente verifica se:

Passo 3

Vamos reescrever a EDO dada para o formato padrão:
Podemos expandir isso para:
Rearranjando os termos:
Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais para verificar se a EDO é exata:
Como , a EDO não é exata.

Passo 5

Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante. Um método simples é tentar um fator que dependa apenas de ou .
Vamos supor que o fator integrante dependa apenas de . Então:
Para que essa nova equação seja exata, deve valer:
Substituindo os valores que já temos:
Percebo que essa abordagem está complicando, então vamos tentar um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 6

Assumindo que depende apenas de :
A condição para exatidão fica:
Ainda fica dependente de e , o que não resolve. Então, vamos tentar um fator integrante que seja função de .

Passo 7

Assumindo , onde é uma constante a ser determinada.
Vamos multiplicar a EDO original por :
Para que seja exata, deve-se verificar:
Calculando as derivadas:
Left side:
Right side:
Para que sejam iguais:
Isso implica:
O que não é possível. Portanto, esse fator não funciona. Vamos então tentar outro método.

Passo 8

Dado que os métodos anteriores não funcionaram, podemos resolver a EDO diretamente.
A equação original é:
Isso implica que ou:
  1. , ou
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 9

Caso 1:
Isso significa que:
Essa é uma solução da EDO.
Caso 2:
Resolvendo para :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Portanto, as soluções gerais da EDO são:

Resposta

As soluções da EDO são todas as funções e , onde é uma constante arbitrária.

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