Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois das funções abaaixo nos pontos indicados:
(8.2) f(x, y) = e^x * raiz(1 + y^2) em P=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os polinômios de Taylor de ordem um e dois para a função no ponto . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente dentro do estudo de aproximações de funções usando polinômios de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma maneira de aproximar uma função por um polinômio, usando as derivadas da função no ponto de expansão. Quanto maior a ordem do polinômio, melhor a aproximação perto desse ponto.
Para calcular o polinômio de Taylor de ordem um (linear) e de ordem dois (quadrático), precisamos das derivadas parciais da função até a segunda ordem no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
A derivada parcial de em relação a é:
No ponto :
A derivada parcial de em relação a é:
No ponto :

Passo 5

Com essas derivadas, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem um:

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem para o polinômio de Taylor de ordem dois.
Primeira, a segunda derivada em relação a :
No ponto :
A segunda derivada em relação a :
No ponto :
E a derivada mista:
No ponto :

Passo 7

Com todas as derivadas calculadas, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem dois:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem um é e o polinômio de ordem dois é .

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