Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois das funções abaaixo nos pontos indicados:
(8.2) em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os polinômios de Taylor de ordem um e dois para a função no ponto . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente dentro do estudo de aproximações de funções usando polinômios de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma maneira de aproximar uma função por um polinômio, usando as derivadas da função no ponto de expansão. Quanto maior a ordem do polinômio, melhor a aproximação perto desse ponto.
Para calcular o polinômio de Taylor de ordem um (linear) e de ordem dois (quadrático), precisamos das derivadas parciais da função até a segunda ordem no ponto .
Passo 3
Vamos começar calculando o valor da função no ponto :
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
A derivada parcial de em relação a é:
No ponto :
A derivada parcial de em relação a é:
No ponto :
Passo 5
Com essas derivadas, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem um:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem para o polinômio de Taylor de ordem dois.
Primeira, a segunda derivada em relação a :
No ponto :
A segunda derivada em relação a :
No ponto :
E a derivada mista:
No ponto :
Passo 7
Com todas as derivadas calculadas, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem dois:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem um é e o polinômio de ordem dois é .