Calcule os polinômios de Taylor de ordem um e dois das funções abaaixo nos pontos indicados:
(8.2) f(x, y) = e^x * raiz(1 + y^2) em P=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os polinômios de Taylor de ordem um e dois para a função no ponto . Isso faz parte da matéria de cálculo, especificamente dentro do estudo de aproximações de funções usando polinômios de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma maneira de aproximar uma função por um polinômio, usando as derivadas da função no ponto de expansão. Quanto maior a ordem do polinômio, melhor a aproximação perto desse ponto.
Para calcular o polinômio de Taylor de ordem um (linear) e de ordem dois (quadrático), precisamos das derivadas parciais da função até a segunda ordem no ponto .

Passo 3

Vamos começar calculando o valor da função no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem.
A derivada parcial de em relação a é:
No ponto :
A derivada parcial de em relação a é:
No ponto :

Passo 5

Com essas derivadas, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem um:

Passo 6

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem para o polinômio de Taylor de ordem dois.
Primeira, a segunda derivada em relação a :
No ponto :
A segunda derivada em relação a :
No ponto :
E a derivada mista:
No ponto :

Passo 7

Com todas as derivadas calculadas, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem dois:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem um é e o polinômio de ordem dois é .

Exercícios relacionados

Ache a solução particular dos problemas de valor inicial abaixo, usando EDO Separável:
y' = y / x + (2 x^3 / y) cos(x^2), y(raiz(pi / 2)) = raiz(pi)
Determine o momento de inércia dos seguintes sólidos:
(7.2) limitado pelo plano z = 0 e pelo hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = a^2, z ≥ 0, em relação ao seu eixo, com densidade constante sigma_0
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(x - y)(1 - y') = 0
Determine se a série sumn=1^infty n sen 1n converge ou diverge. Justifique sua resposta.