Ache a solução particular dos problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
d r / d theta = b [ d r / d theta cos theta + r sen theta ], r(1/2 pi) = pi, 0 < b < 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução particular de um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação e aplicar métodos de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar o trabalho:
Nosso objetivo é isolar para conseguir separar as variáveis.

Passo 3

Vamos distribuir o dentro do colchete:
Agora, vamos trazer todos os termos que contêm para um lado da equação:

Passo 4

Fatorando no lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 5

Essa equação é uma EDO Linear de Primeira Ordem. Podemos escrevê-la na forma padrão:
Comparando com o que temos:
No entanto, nesse caso, como , a solução será da forma .

Passo 6

Vamos calcular a integral de :
Fazendo uma substituição , então , o que simplifica a integral para:

Passo 7

A solução geral da EDO é então:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução particular do problema de valor inicial é:

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