Ache a solução particular dos problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução particular de um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente uma EDO de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação e aplicar métodos de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar o trabalho:
Nosso objetivo é isolar
para conseguir separar as variáveis.
Passo 3
Vamos distribuir o
dentro do colchete:
Agora, vamos trazer todos os termos que contêm
para um lado da equação:
Passo 4
Fatorando
no lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Essa equação é uma EDO Linear de Primeira Ordem. Podemos escrevê-la na forma padrão:
Comparando com o que temos:
No entanto, nesse caso, como
, a solução será da forma
.
Passo 6
Vamos calcular a integral de
:
Fazendo uma substituição
, então
, o que simplifica a integral para:
Passo 7
A solução geral da EDO é então:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução particular do problema de valor inicial é:
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Encontre a inclinação da reta tangente a cada uma das curvas indicadas nos pontos dados.
A) , quando
A)
Calcule
, para cada uma das funções a seguir
F)
F)
Encontre a inclinação da reta tangente a cada uma das curvas indicadas nos pontos dados.
D) , quando
D)
Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas:
.