Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas: integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-y^2 x y d z d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse integral triplo juntos! O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralraizx^2+y^2^raiz2-y^2 x y , dz , dy , dx
Usaremos coordenadas esféricas para facilitar a resolução. Coordenadas esféricas são úteis quando a região de integração tem simetria esférica. Vamos precisar entender as relações entre coordenadas cartesianas x = rho sinphi costheta y = rho sinphi sintheta z = rho cosphi e esféricas dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta :
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos seguir para o próximo passo para começar a transformar a integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração na integral original e reescrevê-los em coordenadas esféricas.
O intervalo para é de 0 a 1, para de 0 a , e para de a .
Isso descreve uma região no primeiro octante (onde ) limitada por:
  • varia de 0 a 1.
  • varia de 0 a , o que descreve um círculo no plano com raio 1.
  • varia de a .
Vamos converter esses limites para coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos identificar as superfícies que limitam a região:
  1. Plano a : Em esféricas, isso corresponde a de 0 a 1.
  2. Cilindro : Em esféricas, isso implica .
  3. Plano a : Similarmente, isso afeta os limites de , que vão de 0 a no primeiro octante.
  4. Superfície : Isso é a superfície do cone , onde . Em esféricas, .
  5. Superfície : Rearranjando, temos , que é uma esfera com raio .
Com isso, podemos definir os limites para , e .

Passo 4

Vamos definir os limites de integração em coordenadas esféricas:
  • 0 <= theta <= pi2 0 <= phi <= pi4 0 <= rho <= raiz2 : Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a .
  • : Entre o cone e a esfera, varia de 0 a .
  • : Varia de 0 até a interseção com a esfera, que é .
Portanto, os limites são:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas. A função integranda x y = (rho sinphi costheta)(rho sinphi sintheta) = rho^2 sin^2phi costheta sintheta em esféricas se torna:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
E o elemento de volume integral0^pi2 integral0^pi4 integral0^raiz2 rho^2 sin^2phi costheta sintheta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta é:
integral0^pi2 integral0^pi4 integral0^raiz2 rho^4 sin^3phi costheta sintheta , drho , dphi , dtheta
Portanto, a integral se transforma em:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos agora integrar em ordem de integral0^raiz2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^raiz2 = (raiz2)^55 = 4 raiz25 , integral0^pi4 sin^3phi , dphi e sin^3phi = sinphi (1 - cos^2phi) .
Primeiro, a integral em integral sin^3phi , dphi = integral sinphi , dphi - integral sinphi cos^2phi , dphi = -cosphi + cos^3phi3 + C :
[ -cosphi + cos^3phi3 ]0^pi4 = ( -raiz22 + (raiz22)^33 ) - ( -1 + 13 ) = -raiz22 + raiz212 + 23
Agora, a integral em -5raiz212 + 23 :
Para resolver isso, usamos a identidade:
Então:
Avaliado de 0 a :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, a integral em integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta :
integral0^1 u , du = 12 u^2 |0^1 = 12
Podemos usar a substituição , , então:

Resposta

Multiplicando todas as partes:
4 raiz25 times ( -5raiz212 + 23 ) times 12 = 4 raiz25 times ( -5raiz212 + 812 ) times 12
Simplificando:
4 raiz25 times -5raiz2 + 812 times 12 = 4 raiz2 (-5raiz2 + 8)5 times 24 = 4 raiz2 (-10 + 8 raiz2)120 = -40 raiz2 + 32 times 2120 = -40 raiz2 + 64120
Dividindo numerador e denominador por 8:
-5 raiz2 + 815
Portanto, a resposta final ��:
boxed8 - 5 raiz215

Exercícios relacionados

Encontre a inclinação da reta tangente a cada uma das curvas indicadas nos pontos dados.
D) y = cos(2 x), quando x = pi / 12
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
d r / d theta = b [ d r / d theta cos theta + r sen theta ], r(1/2 pi) = pi, 0 < b < 1
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
D) y = raiz(x), quando x = 1
Calcule d/y d/x, para cada uma das funções a seguir
E) y = tang(x^2 + 3 x)