Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse integral triplo juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Usaremos coordenadas esféricas para facilitar a resolução. Coordenadas esféricas são úteis quando a região de integração tem simetria esférica. Vamos precisar entender as relações entre coordenadas cartesianas e esféricas :
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Vamos seguir para o próximo passo para começar a transformar a integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração na integral original e reescrevê-los em coordenadas esféricas.
O intervalo para é de 0 a 1, para de 0 a , e para de a .
Isso descreve uma região no primeiro octante (onde ) limitada por:
varia de 0 a 1.
varia de 0 a , o que descreve um círculo no plano com raio 1.
varia de a .
Vamos converter esses limites para coordenadas esféricas.
Passo 3
Vamos identificar as superfícies que limitam a região:
Plano a : Em esféricas, isso corresponde a de 0 a 1.
Cilindro : Em esféricas, isso implica .
Plano a : Similarmente, isso afeta os limites de , que vão de 0 a no primeiro octante.
Superfície : Isso é a superfície do cone , onde . Em esféricas, .
Superfície : Rearranjando, temos , que é uma esfera com raio .
Com isso, podemos definir os limites para , e .
Passo 4
Vamos definir os limites de integração em coordenadas esféricas:
0 <= theta <= pi2 0 <= phi <= pi4 0 <= rho <= raiz2 : Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a .
: Entre o cone e a esfera, varia de 0 a .
: Varia de 0 até a interseção com a esfera, que é .
Portanto, os limites são:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original em coordenadas esféricas. A função integranda x y = (rho sinphi costheta)(rho sinphi sintheta) = rho^2 sin^2phi costheta sintheta em esféricas se torna:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
E o elemento de volume integral0^pi2 integral0^pi4 integral0^raiz2 rho^2 sin^2phi costheta sintheta cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta é: