Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar uma função
que satisfaça a equação e as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, assumimos uma solução do tipo
, onde
é um número que precisamos descobrir.
Passo 3
Substituindo
na equação, temos:
Podemos dividir todos os termos por
(que nunca é zero), ficando:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então, temos raízes reais e iguais:
Passo 5
Como temos duas raízes iguais (
), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Vamos aplicar a primeira condição inicial:
.
Substituindo na solução geral:
Substituindo
Então,
.
Passo 7
Agora, a solução simplifica para:
Vamos usar a segunda condição inicial:
. Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
.
Passo 8
Calculando a derivada
:
Agora, substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições dadas é:
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