Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Aqui, a gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Precisamos encontrar uma função que satisfaça a equação e as condições dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Essa é uma equação linear homogênea de segunda ordem. Para resolver, assumimos uma solução do tipo , onde é um número que precisamos descobrir.

Passo 3

Substituindo na equação, temos:
Podemos dividir todos os termos por (que nunca é zero), ficando:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então, temos raízes reais e iguais:

Passo 5

Como temos duas raízes iguais ( ), a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Vamos aplicar a primeira condição inicial: .
Substituindo na solução geral:
Então, .

Passo 7

Agora, a solução simplifica para:
Vamos usar a segunda condição inicial: . Primeiro, precisamos encontrar a derivada de .

Passo 8

Calculando a derivada :
Agora, substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições dadas é:

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