Resolva as EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . O conteúdo que vamos usar aqui envolve Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular que leva em conta o lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, igualar o lado direito a zero:
Isso é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes. Para resolver, a gente assume que a solução tem a forma . Ao substituir na equação, obtemos a equação característica:
Fatorando:
Isso nos dá as raízes (com multiplicidade 2) e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equa��ão completa:
O lado direito é um polinômio de primeiro grau ( ), então vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de primeiro grau:
Vamos derivar:
Substituindo na equação original:
Oops! Isso não dá certo. Significa que nossa suposição está errada. Vamos tentar um polinômio de segundo grau:
Derivando:
Substituindo na equação:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim:
E para o termo constante:
Isso não faz sentido, indicando que também precisamos ajustar nossa suposição. Vamos então tentar incluir um termo que não estava presente inicialmente:
Derivando novamente:
Substituindo na equação:
Ainda, essa igualdade não é possível. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem. Vamos considerar que a solução particular seja da forma:
Como , já tentamos isso e não funcionou. Outra estratégia é multiplicar por para evitar a redundância com a solução homogênea. Então, vamos supor:
Derivando:
Substituindo na equação:
Ainda não resolve. Parece que precisamos tentar uma forma diferente. Vamos então assumir:
Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Para :
Para constantes:
Portanto, a solução particular é:

Passo 4

Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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