Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
Estamos trabalhando com Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem e vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar a solução geral. Para isso, precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Para isso, escrevemos a equação característica:
Resolvendo essa equação do segundo grau:
Isso nos dá as raízes:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método da variação de parâmetros.
Primeiro, identificamos as soluções da homogênea:
Em seguida, calculamos o Wronskiano :

[
W =


= e^{x} \cdot (-4 e^{-4x}) - e^{x} \cdot e^{-4x} = -5 e^{-3x}
]
Agora, aplicamos a fórmula da variação de parâmetros:
Onde .
Calculando as integrais:
Simplificando:
Resolvendo as integrais (omitir detalhes para brevidade), obtemos:
áãê
Finalmente, simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:

Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO ;
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial: