Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado: Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem da forma
. Vamos resolver essa EDO usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e funções trigonométricas.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, que é
. A solução geral dessa equação homogênea será a base para encontrar a solução completa da equação original.
Passo 3
Para achar a solução da homogênea, montamos a equação característica:
Resolvendo para
:
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas. Portanto, a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes a determinar para isso.
Passo 5
Observamos que o lado direito da equação (
) é uma combinação de funções trigonométricas que já aparecem na solução homogênea. Para evitar duplicação de soluções, multiplicamos nossa suposição inicial por
. Assim, assumimos:
onde
e
são coeficientes que vamos determinar.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituímos
e suas derivadas na equação diferencial original:
Simplificando:
Passo 8
Igualamos isso ao lado direito da equação original:
Passo 9
Agora, comparamos os coeficientes das funções trigonométricas de ambos os lados:
Passo 10
Substituindo os valores de
e
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
;
Resolva as EDO
(b) Escreva a solução geral de
e
, na forma fase-amplitude.