Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado: Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem da forma . Vamos resolver essa EDO usando o método dos coeficientes a determinar. Para isso, precisamos conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares e funções trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada, que é . A solução geral dessa equação homogênea será a base para encontrar a solução completa da equação original.

Passo 3

Para achar a solução da homogênea, montamos a equação característica:
Resolvendo para :
Isso significa que as soluções são funções trigonométricas. Portanto, a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Usaremos o método dos coeficientes a determinar para isso.

Passo 5

Observamos que o lado direito da equação ( ) é uma combinação de funções trigonométricas que já aparecem na solução homogênea. Para evitar duplicação de soluções, multiplicamos nossa suposição inicial por . Assim, assumimos:
onde e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituímos e suas derivadas na equação diferencial original:
Simplificando:

Passo 8

Igualamos isso ao lado direito da equação original:

Passo 9

Agora, comparamos os coeficientes das funções trigonométricas de ambos os lados:

Passo 10

Substituindo os valores de e na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados

Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO ;
Resolva as EDO
(b) Escreva a solução geral de e , na forma fase-amplitude.