Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Aqui, a gente vai usar o método dos coeficientes a determinar. Esse método ajuda a encontrar uma solução particular para a EDO quando o lado direito (termo não homogêneo) tem uma forma específica, como polinômios ou exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea e a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma , onde é um número que precisamos determinar. Substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos:
Então, as raízes são e . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Aqui, o lado direito tem duas partes: e . Vamos tratar cada uma separadamente e depois somar as soluções.
  1. Para o termo :
    Como é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:
    onde e são constantes a serem determinadas.
  2. Para o termo :
    Como é uma exponencial e não é solução da equação homogênea, tentamos uma solução particular da forma:
    onde é uma constante a ser determinada.
Então, a solução particular completa será:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:

Passo 5

Substituímos , e na equação original:
Então:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  1. Termo exponencial :
  1. Termo polinomial :
No lado esquerdo, não há termo com , e no lado direito temos . Isso nos indica que a nossa escolha inicial para não foi suficiente. Precisamos tentar um polinômio de grau superior. Vamos ajustar a solução particular para:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
  1. Para :
  1. Termo constante:
Então, nossa solução particular ajustada é:

Resposta

Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.

Exercícios relacionados

Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO ;
Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:

Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO