Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Aqui, a gente vai usar o método dos coeficientes a determinar. Esse método ajuda a encontrar uma solução particular para a EDO quando o lado direito (termo não homogêneo) tem uma forma específica, como polinômios ou exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea e a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para resolver isso, assumimos uma solução da forma
, onde
é um número que precisamos determinar. Substituindo na equação:
Como
nunca é zero, temos:
Então, as raízes são
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Aqui, o lado direito tem duas partes:
e
. Vamos tratar cada uma separadamente e depois somar as soluções.
-
Para o termo
: Como é um polinômio de primeiro grau, tentamos uma solução particular da forma:ondee são constantes a serem determinadas. -
Para o termo
: Como é uma exponencial enão é solução da equação homogênea, tentamos uma solução particular da forma: ondeé uma constante a ser determinada.
Então, a solução particular completa será:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação original:
Então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Termo exponencial
:
- Termo polinomial
:
No lado esquerdo, não há termo com
, e no lado direito temos
. Isso nos indica que a nossa escolha inicial para
não foi suficiente. Precisamos tentar um polinômio de grau superior. Vamos ajustar a solução particular para:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
- Para
:
- Termo constante:
Então, nossa solução particular ajustada é:
Resposta
Juntando tudo, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.
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;
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Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
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Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO