Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar as raízes da equação característica para determinar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial:
Aqui, substituímos
por
,
por
e
por 1.
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Percebemos que as raízes são complexas, já que o discriminante deu negativo.
Passo 4
Como as raízes são complexas, podemos escrevê-las na forma:
Isso nos indica que a solução geral será uma combinação de funções exponenciais e senos/cossenos.
Passo 5
A solução geral da equação diferencial com raízes complexas
é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, para
:
Passo 7
Em seguida, calculamos a derivada de
:
Avaliando em
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
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Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO
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