Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar as raízes da equação característica para determinar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial:
Aqui, substituímos
por
,
por
e
por 1.
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Percebemos que as raízes são complexas, já que o discriminante deu negativo.
Passo 4
Como as raízes são complexas, podemos escrevê-las na forma:
Isso nos indica que a solução geral será uma combinação de funções exponenciais e senos/cossenos.
Passo 5
A solução geral da equação diferencial com raízes complexas
é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, para
:
Passo 7
Em seguida, calculamos a derivada de
:
Avaliando em
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: