Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
y'' - raiz(2) y' + y = 0, y(0) = raiz(2), y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar encontrar as raízes da equação característica para determinar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial:
Aqui, substituímos por , por r e y por 1.

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática:
Percebemos que as raízes são complexas, já que o discriminante deu negativo.

Passo 4

Como as raízes são complexas, podemos escrevê-las na forma:
Isso nos indica que a solução geral será uma combinação de funções exponenciais e senos/cossenos.

Passo 5

A solução geral da equação diferencial com raízes complexas é:
No nosso caso, e , então:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, para :

Passo 7

Em seguida, calculamos a derivada de y(t):
Avaliando em :
Substituindo :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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