Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:

Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos uma equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem acompanhada de uma função específica. A equação dada é:
A função fornecida é:
O conteúdo envolvido aqui inclui resolução de EDOs de segunda ordem, verificação de soluções particulares e obtenção da solução geral utilizando métodos como o de redução de ordem. Vamos precisar calcular derivadas e aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se é, de fato, uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de e substituir na equação.
Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Somando os termos:
Tudo se simplifica para 0, confirmando que é de fato uma solução da EDO.

Passo 4

Agora que confirmamos que é uma solução particular, vamos encontrar a solução geral da EDO. Uma EDO de segunda ordem homogênea tem solução geral da forma:
Onde e são soluções lineares independentes da equação, e , são constantes.
Já temos . Precisamos encontrar uma segunda solução . Para isso, usamos o método de redução de ordem.

Passo 5

Assumimos que , onde é uma função a ser determinada.
Calculamos as derivadas de :
Substituindo , e na EDO e simplificando, obtemos uma equação para . Após simplificação, chegamos a:
Onde é uma constante de integração.

Passo 6

Integrando :
Fazendo uma substituição , , a integral se torna:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos de volta em :
Desconsiderando a parte dependente de , temos a segunda solução independente:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO
Use o método da variação de parâmetros para achar a solução geral de cada uma das seguintes EDO ;
Use o método dos coeficientes a determinar para resolver as seguintes EDO ;