Na continuação, dá-se um conjunto de equações diferenciais homogêneas de segunda ordem, cada uma acompanhada de uma função:
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Confira, em cada caso, que a função que acompanha a EDO é uma solução da mesma. Use a informação do item anterior para achar a solução geral, em cada caso.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos uma equação diferencial ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem acompanhada de uma função específica. A equação dada é:
A função fornecida é:
O conteúdo envolvido aqui inclui resolução de EDOs de segunda ordem, verificação de soluções particulares e obtenção da solução geral utilizando métodos como o de redução de ordem. Vamos precisar calcular derivadas e aplicar técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é, de fato, uma solução da EDO. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
e substituir na equação.
Calculando a primeira derivada:
Calculando a segunda derivada:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Substituindo:
Simplificando cada termo:
Somando os termos:
Tudo se simplifica para 0, confirmando que
é de fato uma solução da EDO.
Passo 4
Agora que confirmamos que
é uma solução particular, vamos encontrar a solução geral da EDO. Uma EDO de segunda ordem homogênea tem solução geral da forma:
Onde
e
são soluções lineares independentes da equação, e
,
são constantes.
Já temos
. Precisamos encontrar uma segunda solução
. Para isso, usamos o método de redução de ordem.
Passo 5
Assumimos que
, onde
é uma função a ser determinada.
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo
,
e
na EDO e simplificando, obtemos uma equação para
. Após simplificação, chegamos a:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 6
Integrando
:
Fazendo uma substituição
,
, a integral se torna:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
de volta em
:
Desconsiderando a parte dependente de
, temos a segunda solução independente:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Ache a solução dos seguintes problemas de valor incial:
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;
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;