Resolva a equação diferencial dada utilizando séries de potências em torno do ponto
dado. Determinar a relação de recorrencia, os 4 primeiros termos da série e quando possível o termo geral
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O ponto em torno do qual vamos desenvolver a série de potências é
. Nosso objetivo é resolver essa equação utilizando séries de potências, encontrando a relação de recorrência, os quatro primeiros termos da série e, se possível, o termo geral da solução.
Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de séries de potências, derivadas de séries e método de substituição em equações diferenciais.
Passo 2
Vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Calculamos as derivadas de
em termos da série:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Simplificamos cada termo multiplicando por
e ajustando os índices das somas para que todas sejam em termos de
:
Para o primeiro termo:
Expandindo:
Para o segundo termo:
Para o terceiro termo:
Expandindo:
Passo 6
Agora, todas as somas estão em termos de
. Ajustamos os índices para que todas as séries comecem do
:
Depois de reorganizar, temos uma única soma:
Passo 7
Para que a equação seja válida para todo
, o coeficiente de cada
deve ser igual a zero. Portanto, obtemos a relação de recorrência:
Isolando
:
Passo 8
Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos da série. Precisamos dos valores de
e
, que geralmente são dados por condições iniciais. Como não temos essas condições, assumiremos
como um parâmetro livre e
também como outro parâmetro livre.
Vamos assumir
e
.
Usando a relação de recorrência:
Para
:
Para
:
Substituindo
:
Para
:
Substituindo
e
:
Passo 9
Assim, os quatro primeiros termos da série são:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 10
Para encontrar o termo geral, observamos a relação de recorrência:
Essa recorrência permite calcular qualquer coeficiente
a partir dos dois anteriores. No entanto, sem condições iniciais específicas, o termo geral permanece expresso em termos de
e
:
Resposta
A solução da equação diferencial
centrada em
é dada por uma série de potências:
Onde os coeficientes
seguem a relação de recorrência:
E
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.