Resolva a equação diferencial dada utilizando séries de potências em torno do ponto x_0 dado. Determinar a relação de recorrencia, os 4 primeiros termos da série e quando possível o termo geral x y'' + y' + x y = 0, x0 = 1.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial dada por:
O ponto em torno do qual vamos desenvolver a série de potências é . Nosso objetivo é resolver essa equação utilizando séries de potências, encontrando a relação de recorrência, os quatro primeiros termos da série e, se possível, o termo geral da solução.
Para isso, vamos precisar conhecer os conceitos de séries de potências, derivadas de séries e método de substituição em equações diferenciais.

Passo 2

Vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências centrada em :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de em termos da série:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

Substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Simplificamos cada termo multiplicando por e ajustando os índices das somas para que todas sejam em termos de :
Para o primeiro termo:
Expandindo:
Para o segundo termo:
Para o terceiro termo:
Expandindo:

Passo 6

Agora, todas as somas estão em termos de . Ajustamos os índices para que todas as séries comecem do :
Depois de reorganizar, temos uma única soma:

Passo 7

Para que a equação seja válida para todo , o coeficiente de cada deve ser igual a zero. Portanto, obtemos a relação de recorrência:
Isolando :

Passo 8

Agora, vamos encontrar os quatro primeiros termos da série. Precisamos dos valores de e , que geralmente são dados por condições iniciais. Como não temos essas condições, assumiremos como um parâmetro livre e também como outro parâmetro livre.
Vamos assumir e .
Usando a relação de recorrência:
Para :
Para :
Substituindo :
Para :
Substituindo e :

Passo 9

Assim, os quatro primeiros termos da série são:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 10

Para encontrar o termo geral, observamos a relação de recorrência:
Essa recorrência permite calcular qualquer coeficiente a partir dos dois anteriores. No entanto, sem condições iniciais específicas, o termo geral permanece expresso em termos de e :
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Resposta

A solução da equação diferencial centrada em é dada por uma série de potências:
Onde os coeficientes seguem a relação de recorrência:
E e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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