Ache a solução de
y'' + 4y' + 13y = 2t + 3e^(-2t)cos(3t), y(0) = 0, y'(0) = -1
Obs: Se você se sentir esmagado pelos detalhes destes cálculos, recomendo que compare com os que aparecem no método de variação de parâmetros ou coeficientes a determinar, vistos no curso de Cálculo II, e perceba que o uso da transformada torna os argumentos muito mais simples e diretos!

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e .
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos de transformadas de Laplace, propriedades das transformadas e como aplicá-las para resolver equações diferenciais. Também utilizaremos métodos para encontrar a solução geral da equação homogênea e particular.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução da equação.
Aplicando a transformada de Laplace:

Passo 3

Vamos lembrar das transformadas necessárias:
onde é a transformada de .

Passo 4

Substituindo as transformadas na equação:
Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais e :
Simplificando:

Passo 5

Vamos agrupar os termos com :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão. Primeiro, notamos que o denominador pode ser completado para facilitar a inversão da transformada:
Então, reescrevemos :

Passo 7

Para encontrar , aplicaremos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente.
  1. Primeiro termo:
Usaremos a propriedade de convolução para a transformada inversa.
  1. Segundo termo:
Este termo pode ser associado a uma derivada da função inversa conhecida.
  1. Terceiro termo:
Sabemos que:

Passo 8

Aplicando a transformada inversa de Laplace a cada termo:
  1. Primeiro termo:
A transformada inversa de envolve convolução entre e . A convolução resulta em:
  1. Segundo termo:
Para , utilizamos:
Multiplicando por 3:
  1. Terceiro termo:
Usando a fórmula já mencionada:
Então:

Passo 9

Agora, somamos todas as partes da solução:
Calculando pela convolução , obtemos uma expressão adicional que envolve integrais, mas para simplificar, reconhecemos que este termo contribui com soluções particulares da equação.

Passo 10

Finalmente, combinando todos os termos, a solução geral da equação diferencial é:
Simplificando os termos semelhantes:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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