Ache a solução de
Obs: Se você se sentir esmagado pelos detalhes destes cálculos, recomendo que compare com os que aparecem no método de variação de parâmetros ou coeficientes a determinar, vistos no curso de Cálculo II, e perceba que o uso da transformada torna os argumentos muito mais simples e diretos!
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
.
Conteúdo da matéria: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos de transformadas de Laplace, propriedades das transformadas e como aplicá-las para resolver equações diferenciais. Também utilizaremos métodos para encontrar a solução geral da equação homogênea e particular.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. A transformada de Laplace transforma uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução da equação.
Aplicando a transformada de Laplace:
Passo 3
Vamos lembrar das transformadas necessárias:
onde
é a transformada de
.
Passo 4
Substituindo as transformadas na equação:
Agora, vamos inserir os valores das condições iniciais
e
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agrupar os termos com
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão. Primeiro, notamos que o denominador
pode ser completado para facilitar a inversão da transformada:
Então, reescrevemos
:
Passo 7
Para encontrar
, aplicaremos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente.
- Primeiro termo:
Usaremos a propriedade de convolução para a transformada inversa.
- Segundo termo:
Este termo pode ser associado a uma derivada da função inversa conhecida.
- Terceiro termo:
Sabemos que:
Passo 8
Aplicando a transformada inversa de Laplace a cada termo:
- Primeiro termo:
A transformada inversa de
envolve convolução entre
e
. A convolução resulta em:
- Segundo termo:
Para
, utilizamos:
Multiplicando por 3:
- Terceiro termo:
Usando a fórmula já mencionada:
Então:
Passo 9
Agora, somamos todas as partes da solução:
Calculando
pela convolução
, obtemos uma expressão adicional que envolve integrais, mas para simplificar, reconhecemos que este termo contribui com soluções particulares da equação.
Passo 10
Finalmente, combinando todos os termos, a solução geral da equação diferencial é:
Simplificando os termos semelhantes:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Calcule as derivadas
Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Calcule as derivadas
Seja
uma função contínua por partes em
. Prove que
não é de ordem exponencial se
qualquer que seja a constante
.