Seja
uma função contínua por partes em
. Prove que
não é de ordem exponencial se
qualquer que seja a constante
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma função
que é contínua por partes no intervalo
. O problema quer a gente provar que
não é de ordem exponencial se o limite
para qualquer constante real
. Vamos precisar entender o que significa uma função ser de ordem exponencial e como esse limite nos ajuda nessa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é ordem exponencial. Uma função
é dita ser de ordem exponencial se existe uma constante
e outra
tal que para todo
grande o suficiente,
. Basicamente, isso significa que o crescimento de
não é mais rápido do que uma função exponencial
.
Passo 3
Agora, o que o exercício nos dá é que, para qualquer
, o limite de
tende ao infinito quando
vai para o infinito. Isso quer dizer que não importa qual
a gente escolha, sempre dá para encontrar um
grande o bastante onde
é maior que
para qualquer constante
.
Passo 4
Vamos pensar no contrário: suponha que
é de ordem exponencial. Então, existiria algum
e
tal que
para todo
grande. Mas isso implicaria que
, ou seja, o limite de
seria no máximo
, e não infinito. Isso contraria o que foi dado no exercício.
Passo 5
Como chegamos a uma contradição assumindo que
é de ordem exponencial, nossa suposição está errada. Portanto, conclui-se que
não é de ordem exponencial se
para qualquer constante
.
Resposta
Assim, provamos que a função
não é de ordem exponencial sob as condições dadas.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas
Ache a solução de
Obs: Se você se sentir esmagado pelos detalhes destes cálculos, recomendo que compare com os que aparecem no método de variação de parâmetros ou coeficientes a determinar, vistos no curso de Cálculo II, e perceba que o uso da transformada torna os argumentos muito mais simples e diretos!
Seja
. Encontre
, sabendo que
e
Calcule as derivadas das seguintes funções.