Resolva os seguintes problemas de valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de valor inicial que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes envolvidas.
Passo 2
Primeiro, resolvemos a equação homogênea associada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Resolvemos essa equação característica:
Passo 4
Assim, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 5
Agora, encontramos uma solução particular (
) para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução da forma:
onde
é uma constante a ser encontrada.
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, vamos usar
:
Agora, calculamos a derivada de
:
Aplicamos a condição
:
Agora, temos um sistema de equações:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Então,
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Ache a solução de
Obs: Se você se sentir esmagado pelos detalhes destes cálculos, recomendo que compare com os que aparecem no método de variação de parâmetros ou coeficientes a determinar, vistos no curso de Cálculo II, e perceba que o uso da transformada torna os argumentos muito mais simples e diretos!