Calcule as derivadas
f(x) = [ln(sen(x))]^3

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia, que é usada quando temos funções compostas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar o logaritmo natural e a função seno, além de aplicar a regra da cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função composta que temos aqui. A função é o logaritmo natural da função seno de , tudo isso elevado ao cubo. Ou seja, temos uma função dentro de outra: .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é .

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia na nossa função:
Aqui, derivamos o lado de fora em relação a , que nos dá , e multiplicamos pela derivada do interior .

Passo 5

Agora, vamos derivar . Sabemos que a derivada de é . No nosso caso, , então:

Passo 6

Finalmente, substituímos essa derivada de volta na expressão que tínhamos no Passo 4:

Resposta

A derivada da função é .

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Obs: Se você se sentir esmagado pelos detalhes destes cálculos, recomendo que compare com os que aparecem no método de variação de parâmetros ou coeficientes a determinar, vistos no curso de Cálculo II, e perceba que o uso da transformada torna os argumentos muito mais simples e diretos!
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