Ache a soma da série

Passo 1

Então, o que temos aqui é uma série infinita que começa com . Vamos trabalhar com séries infinitas, especificamente aquelas que envolvem fatoriais e potências. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a série exponencial e como ela se relaciona com as potências e fatoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos da série e tentar identificar um padrão. O primeiro termo é 3, que pode ser escrito como . O segundo termo é , que é . O terceiro termo é , que equivale a . Viu? A gente consegue generalizar cada termo como , onde começa em 1 e vai até o infinito.

Passo 3

Agora que identificamos o padrão, vamos relacionar isso com algo que já conhecemos: a série exponencial. A série de é dada por:
Essa é uma série bem conhecida que expande o valor de em termos de uma soma infinita.

Passo 4

Comparando as duas séries, percebemos que a nossa série é semelhante à série de , mas começa em em vez de , e é 3. Então, podemos escrever a soma da nossa série como:
Sabemos que a série completa de inclui o termo quando , que é . Portanto, se subtrairmos esse termo, teremos a soma que estamos procurando.

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados

Determine o intervalo e o raio de convergência.
Determine a equação da reta tangente em sendo dados:
e .
Ache a soma da série
Determine a equação do plano que contém a reta definida pela interseção dos planos e e que é perpendicular ao plano .
(25 Pontos)