Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar o intervalo e o raio de convergência da seguinte série infinita:
Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são somas infinitas onde cada termo envolve uma potência de uma variável (neste caso, ). Para descobrir onde essa série converge, ou seja, para quais valores de a série dá um resultado finito, vamos utilizar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência e, a partir daí, o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste afirma que, para uma série da forma , o limite
pode nos dizer sobre a convergência da série:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Simplificando isso:
Como estamos interessados no valor absoluto, ignoramos o sinal negativo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite conforme tende ao infinito:
Observando o denominador, vemos que cresce como para valores grandes de . Portanto, o limite fica:
Passo 4
Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge para todo valor de . Isso significa que o raio de convergência é infinito, e o intervalo de convergência também é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
A série converge para todo o , ou seja, o intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.