Determine a equação do plano que contém a reta definida pela interseção dos planos e e que é perpendicular ao plano .
(25 Pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a equação de um plano que contém uma determinada reta e que é perpendicular a outro plano específico. A reta que precisamos considerar é definida pela interseção dos planos e . Além disso, o plano que queremos encontrar deve ser perpendicular ao plano .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como interseção de planos, vetores normais e perpendicularidade entre planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a equação da reta que é a interseção dos planos e . Para isso, vamos resolver o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para expressar duas variáveis em termos de uma terceira. Vamos escolher como parâmetro.
Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, a parametrização da reta é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a equação de um plano que contenha essa reta e que seja perpendicular ao plano .
Sabemos que dois planos são perpendiculares se os seus vetores normais são perpendiculares, ou seja, o produto escalar entre eles é zero.
O vetor normal do plano é .
Vamos chamar o vetor normal do plano que queremos encontrar de . Para que os dois planos sejam perpendiculares:
Passo 4
Além disso, o plano que estamos procurando deve conter a reta que encontramos. Isso significa que qualquer ponto da reta deve satisfazer a equação desse plano.
A equação geral de um plano é:
Como a reta está no plano, substituindo os valores da parametrização da reta na equação do plano:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Para que isso seja verdadeiro para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações com as seguintes condições:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Com , da primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Passo 6
Até aqui, temos:
Podemos escolher para simplificar (qualquer múltiplo serve, pois estamos buscando a equação do plano).