Ache a soma da série sumn=0^infty(-1)^n pi^2 n4^2 n+1(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma da série infinita:
sumn=0^infty (-1)^n pi^2 n4^2 n+1(2 n+1)!
Esse tipo de série está relacionado com séries de potências que aparecem no estudo de funções trigonométricas, como o seno e o cosseno. Para resolver, vamos precisar conhecer as expansões em série dessas funções e fazer algumas manipulações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observe que sumn=0^infty (-1)^n pi^2 n4 times 16^n(2 n+1)! = 14 sumn=0^infty (-1)^n (pi^2/16)^n(2n+1)! pode ser reescrito como . Assim, a série fica:

Passo 3

Vamos chamar pi^216 = (pi4)^2 = x^2 . Assim, 14 sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n+1)! , e a expressão fica:
Substituindo na série, temos:

Passo 4

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função sin xx = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n+1)! :
sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n+1)! = sin xx
Comparando com a nossa série, percebemos que:

Passo 5

Substituindo de volta na nossa expressão, temos:
14 sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n+1)! = 14 cdot sin xx
E lembrando que 14 cdot sin (pi4)pi4 = 14 cdot 4pi sin (pi4) , fica:

Passo 6

Simplificando os termos:
14 cdot 4pi = 1pi
Então, a expressão fica:
1pi sin (pi4)

Passo 7

Sabemos que 1pi cdot raiz22 = raiz22pi . Substituindo na expressão:

Resposta

raiz22,pi

Exercícios relacionados