Ache a soma da série

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma da série infinita:
Esse tipo de série está relacionado com séries de potências que aparecem no estudo de funções trigonométricas, como o seno e o cosseno. Para resolver, vamos precisar conhecer as expansões em série dessas funções e fazer algumas manipulações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observe que pode ser reescrito como . Assim, a série fica:

Passo 3

Vamos chamar . Assim, , e a expressão fica:
Substituindo na série, temos:

Passo 4

Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função :
Comparando com a nossa série, percebemos que:

Passo 5

Substituindo de volta na nossa expressão, temos:
E lembrando que , fica:

Passo 6

Simplificando os termos:
Então, a expressão fica:

Passo 7

Sabemos que . Substituindo na expressão:

Resposta

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Determine o intervalo e o raio de convergência.
Determine a equação do plano que contém a reta definida pela interseção dos planos e e que é perpendicular ao plano .
(25 Pontos)
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.