Ache a soma da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma da série infinita:
Esse tipo de série está relacionado com séries de potências que aparecem no estudo de funções trigonométricas, como o seno e o cosseno. Para resolver, vamos precisar conhecer as expansões em série dessas funções e fazer algumas manipulações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão da série. Observe que
pode ser reescrito como
. Assim, a série fica:
Passo 3
Vamos chamar
. Assim,
, e a expressão
fica:
Substituindo na série, temos:
Passo 4
Agora, vamos lembrar da série de Taylor para a função
:
Comparando com a nossa série, percebemos que:
Passo 5
Substituindo de volta na nossa expressão, temos:
E lembrando que
, fica:
Passo 6
Simplificando os termos:
Então, a expressão fica:
Passo 7
Sabemos que
. Substituindo na expressão:
Resposta
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Ache a soma da série
Determine o intervalo e o raio de convergência.
Determine a equação do plano que contém a reta definida pela interseção dos planos
e
e que é perpendicular ao plano
.
(25 Pontos)
(25 Pontos)
encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.