encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. lim x 2 g(x)h(x)

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede pra gente encontrar o limite de g(x)h(x) quando x se aproxima de 2. Isso envolve o conteúdo de limites de funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções g(x) e h(x) se comportam perto de x = 2.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se conseguimos substituir diretamente x = 2 na fração g(x)h(x). Se as funções g(x) e h(x) são contínuas nesse ponto, ou seja, não têm nenhum buraco, salto ou descontinuidade em x = 2, então podemos simplesmente calcular:
lim x 2 g(x)h(x) = g(2)h(2)
Isso seria a solução fácil!

Passo 3

Mas, se ao substituir x = 2, a gente encontra uma situação estranha, como 00 ou valor finito0, aí a coisa complica. Por exemplo:
  • Se h(2) = 0 e g(2) neq 0, então a fração tende a mais infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais.
  • Se g(2) = 0 e h(2) = 0, a gente tem uma indeterminação do tipo 00. Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hôpital ou tentar simplificar a fração para resolver o limite.

Passo 4

Vamos falar um pouco sobre a Regra de L’Hôpital, já que ela vai aparecer quando a gente tem uma indeterminação 00 ou inftyinfty. Basicamente, essa regra diz que:
lim x a g(x)h(x) = lim x a g'(x)h'(x)
desde que os limites dos numeradores e denominadores existam após derivarmos.

Passo 5

Se não der pra aplicar a Regra de L’Hôpital ou simplificar a fração de outra forma, a gente precisa analisar o comportamento das funções. Olhar os sinais e como elas se comportam quando x se aproxima de 2 pode ajudar a entender se o limite existe ou não.

Resposta

Para encontrar o limite de g(x)h(x) quando x se aproxima de 2, precisamos saber como as funções g(x) e h(x) se comportam nesse ponto. Se substituindo x = 2 não resulta em uma indeterminação, basta calcular g(2)h(2). Caso contrário, podemos usar a Regra de L’Hôpital ou analisar o comportamento das funções para determinar se o limite existe ou se tende a infinito. Sem informações específicas sobre g(x) e h(x), não dá pra dar uma resposta final precisa.

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