encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede pra gente encontrar o limite de
quando
se aproxima de 2. Isso envolve o conteúdo de limites de funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções
e
se comportam perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se conseguimos substituir diretamente
na fração
. Se as funções
e
são contínuas nesse ponto, ou seja, não têm nenhum buraco, salto ou descontinuidade em
, então podemos simplesmente calcular:
Isso seria a solução fácil!
Passo 3
Mas, se ao substituir
, a gente encontra uma situação estranha, como
ou
, aí a coisa complica. Por exemplo:
- Se
e , então a fração tende a mais infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais. - Se
e , a gente tem uma indeterminação do tipo . Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hôpital ou tentar simplificar a fração para resolver o limite.
Passo 4
Vamos falar um pouco sobre a Regra de L’Hôpital, já que ela vai aparecer quando a gente tem uma indeterminação
ou
. Basicamente, essa regra diz que:
desde que os limites dos numeradores e denominadores existam após derivarmos.
Passo 5
Se não der pra aplicar a Regra de L’Hôpital ou simplificar a fração de outra forma, a gente precisa analisar o comportamento das funções. Olhar os sinais e como elas se comportam quando
se aproxima de 2 pode ajudar a entender se o limite existe ou não.
Resposta
Para encontrar o limite de
quando
se aproxima de 2, precisamos saber como as funções
e
se comportam nesse ponto. Se substituindo
não resulta em uma indeterminação, basta calcular
. Caso contrário, podemos usar a Regra de L’Hôpital ou analisar o comportamento das funções para determinar se o limite existe ou se tende a infinito. Sem informações específicas sobre
e
, não dá pra dar uma resposta final precisa.
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.
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.
( 25 Pontos)
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© A série
( ) diverge pelo teste da comparação no limite
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