encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede pra gente encontrar o limite de quando se aproxima de 2. Isso envolve o conteúdo de limites de funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções e se comportam perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos ver se conseguimos substituir diretamente na fração . Se as funções e são contínuas nesse ponto, ou seja, não têm nenhum buraco, salto ou descontinuidade em , então podemos simplesmente calcular:
Isso seria a solução fácil!

Passo 3

Mas, se ao substituir , a gente encontra uma situação estranha, como ou , aí a coisa complica. Por exemplo:
  • Se e , então a fração tende a mais infinito ou menos infinito, dependendo dos sinais.
  • Se e , a gente tem uma indeterminação do tipo . Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hôpital ou tentar simplificar a fração para resolver o limite.

Passo 4

Vamos falar um pouco sobre a Regra de L’Hôpital, já que ela vai aparecer quando a gente tem uma indeterminação ou . Basicamente, essa regra diz que:
desde que os limites dos numeradores e denominadores existam após derivarmos.

Passo 5

Se não der pra aplicar a Regra de L’Hôpital ou simplificar a fração de outra forma, a gente precisa analisar o comportamento das funções. Olhar os sinais e como elas se comportam quando se aproxima de 2 pode ajudar a entender se o limite existe ou não.

Resposta

Para encontrar o limite de quando se aproxima de 2, precisamos saber como as funções e se comportam nesse ponto. Se substituindo não resulta em uma indeterminação, basta calcular . Caso contrário, podemos usar a Regra de L’Hôpital ou analisar o comportamento das funções para determinar se o limite existe ou se tende a infinito. Sem informações específicas sobre e , não dá pra dar uma resposta final precisa.

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