Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
R(t) = e^t cos(t) i + e^t sen(t) j + e^t k

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o vetor tangente unitário para a curva dada pela equação vetorial:
Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente lidando com vetores tangentes. Para resolver isso, vamos precisar derivar essa equação em relação a para achar o vetor tangente e, em seguida, normalizá-lo para torná-lo unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar em relação a para encontrar o vetor tangente . A derivada de uma função vetorial é feita componente a componente.
Então, derivando cada componente:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é simplesmente .
Portanto, o vetor tangente é:

Passo 3

Agora que temos o vetor tangente , precisamos encontrar o vetor tangente unitário . Para isso, vamos normalizar , ou seja, dividir pelo seu módulo .
Primeiro, vamos calcular o módulo de :
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 4

Vamos expandir cada termo dentro da raiz:
Somando tudo:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
  1. Ao somar os dois primeiros termos:
Note que .
  1. Acrescentando o terceiro termo:
Sabemos que , então:
Portanto:

Passo 6

Agora que temos o módulo , podemos encontrar o vetor tangente unitário dividindo pelo seu módulo:
Simplificando ao dividir por :

Resposta

O vetor tangente unitário para a curva dada é:

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