Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o vetor tangente unitário para a curva dada pela equação vetorial:
Isso está dentro do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente lidando com vetores tangentes. Para resolver isso, vamos precisar derivar essa equação em relação a
para achar o vetor tangente e, em seguida, normalizá-lo para torná-lo unitário.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
em relação a
para encontrar o vetor tangente
. A derivada de uma função vetorial é feita componente a componente.
Então, derivando cada componente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de em relação a
é . - A derivada de
em relação a é simplesmente .
Portanto, o vetor tangente
é:
Passo 3
Agora que temos o vetor tangente
, precisamos encontrar o vetor tangente unitário
. Para isso, vamos normalizar
, ou seja, dividir
pelo seu módulo
.
Primeiro, vamos calcular o módulo de
:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 4
Vamos expandir cada termo dentro da raiz:
Somando tudo:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
- Ao somar os dois primeiros termos:
Note que .
- Acrescentando o terceiro termo:
Sabemos que , então:
Portanto:
Passo 6
Agora que temos o módulo
, podemos encontrar o vetor tangente unitário
dividindo
pelo seu módulo:
Simplificando ao dividir por
:
Resposta
O vetor tangente unitário para a curva dada é: