Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor mais geral cuja derivada é igual à função dada. Isso envolve cálculo, especificamente derivadas e integrais de vetores. A gente vai precisar integrar cada componente do vetor dado para achar o vetor original mais geral, que além da integral vai ter uma constante vetorial.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a parte a) do exercício:
Primeiro, precisamos encontrar uma função vetor
cuja derivada seja igual à função dada. Ou seja:
Isso significa que:
Agora, vamos integrar cada uma dessas derivadas para encontrar
e
.
Passo 3
Integrando
:
A integral de
em relação a
é
e a integral de
é
. Não esqueça da constante de integração, que no caso de vetores será uma constante vetorial que vamos chamar de
.
Então:
Integrando
:
A integral de
é
e a integral de
é
. Também adicionamos a constante de integração
.
Então:
Passo 4
Juntando as componentes
e
, temos a função vetor mais geral:
Onde
e
são constantes reais que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais, mas como não temos, deixamos elas como constantes.
Resposta
A função vetor mais geral cuja derivada é
é:
Onde
e
são constantes reais.
Exercícios relacionados
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Ache
e
Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.