Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
ll a) (t^2-9) i+(2 t-5) j & b)t> i-1t j c) 3^t i-2^t j & d) e^3 t i+1t-1 j e) R(t)=14+t^2 i-41-t^2 j & f) ln t i+t^2 j

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor mais geral cuja derivada é igual à função dada. Isso envolve cálculo, especificamente derivadas e integrais de vetores. A gente vai precisar integrar cada componente do vetor dado para achar o vetor original mais geral, que além da integral vai ter uma constante vetorial.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte a) do exercício:
(t^2-9) i+(2 t-5) j
Primeiro, precisamos encontrar uma função vetor dRdt = (t^2-9) i+(2 t-5) j cuja derivada seja igual à função dada. Ou seja:
dRxdt = t^2 - 9 e dRydt = 2t - 5
Isso significa que:
Agora, vamos integrar cada uma dessas derivadas para encontrar e .

Passo 3

Integrando Rx(t) = t^33 - 9t + Cx :
A integral de Ry(t) = t^2 - 5t + Cy em relação a é e a integral de é . Não esqueça da constante de integração, que no caso de vetores será uma constante vetorial que vamos chamar de .
Então:
Integrando :
A integral de é e a integral de é . Também adicionamos a constante de integração .
Então:

Passo 4

Juntando as componentes R(t) = ( t^33 - 9t + Cx ) i + ( t^2 - 5t + Cy ) j e , temos a função vetor mais geral:
Onde e são constantes reais que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais, mas como não temos, deixamos elas como constantes.

Resposta

A função vetor mais geral cuja derivada é R(t) = ( t^33 - 9t + Cx ) i + ( t^2 - 5t + Cy ) j é:
Onde e são constantes reais.

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