Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor mais geral cuja derivada é igual à função dada. Isso envolve cálculo, especificamente derivadas e integrais de vetores. A gente vai precisar integrar cada componente do vetor dado para achar o vetor original mais geral, que além da integral vai ter uma constante vetorial.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a parte a) do exercício:
Primeiro, precisamos encontrar uma função vetor cuja derivada seja igual à função dada. Ou seja:
Isso significa que:
Agora, vamos integrar cada uma dessas derivadas para encontrar e .

Passo 3

Integrando :
A integral de em relação a é e a integral de é . Não esqueça da constante de integração, que no caso de vetores será uma constante vetorial que vamos chamar de .
Então:
Integrando :
A integral de é e a integral de é . Também adicionamos a constante de integração .
Então:

Passo 4

Juntando as componentes e , temos a função vetor mais geral:
Onde e são constantes reais que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais, mas como não temos, deixamos elas como constantes.

Resposta

A função vetor mais geral cuja derivada é é:
Onde e são constantes reais.

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