Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região
, limitada pelo arco de curva
dado, se
for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo
a área de
seja medida em centímetros quadrados.
b)
,
é o triângulo retângulo com vértices em
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidades do fluido representado por
. A região
está limitada por um triângulo retângulo com vértices em
,
e
. A pergunta é: qual é a taxa de escoamento do fluido para fora dessa região
?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada, que pode ser encontrada usando o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green para domínios no plano). Vamos precisar calcular a divergência do campo
e a área da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de
é dada por:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência é:
Passo 3
Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo do campo
através da fronteira
da região
é igual à integral da divergência de
sobre a área de
:
Substituindo a divergência que encontramos:
Passo 4
Então, precisamos calcular a área do triângulo retângulo
com vértices em
,
e
.
Primeiro, identifique a base e a altura do triângulo:
- A base está no eixo
de a , com comprimento cm. - A altura está no eixo
de a , com comprimento cm.
A área de um triângulo é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos a área de
, podemos calcular o fluxo:
O sinal negativo indica que o fluxo está entrando na região
, mas como a questão pede a taxa de escoamento para fora, consideramos o valor positivo.
Resposta
A taxa de escoamento do fluido para fora da região
é
.
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Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região
, limitada pelo arco de curva
dado, se
for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo
a área de
seja medida em centímetros quadrados.
a) é a elipse
.
a)
Resolva as equações exponenciais:
e)
e)
Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região
, limitada pelo arco de curva
dado, se
for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo
a área de
seja medida em centímetros quadrados.
c) ,
é a circunferência
.
c)
Ache
e
se
.