Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região D, limitada pelo arco de curva C dado, se F for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo e a área de D seja medida em centímetros quadrados.
b) F(x, y) = (5y - y^2) * i + (3x - 2y) * j, C é o triângulo retângulo com vértices em (1,2), (4,2) e (4,6).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo de velocidades do fluido representado por . A região está limitada por um triângulo retângulo com vértices em , e . A pergunta é: qual é a taxa de escoamento do fluido para fora dessa região ?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo de um campo vetorial através de uma curva fechada, que pode ser encontrada usando o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green para domínios no plano). Vamos precisar calcular a divergência do campo e a área da região .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de é dada por:
No nosso caso, e . Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência é:

Passo 3

Agora, segundo o Teorema da Divergência, o fluxo do campo através da fronteira da região é igual à integral da divergência de sobre a área de :
Substituindo a divergência que encontramos:
Á

Passo 4

Então, precisamos calcular a área do triângulo retângulo com vértices em , e .
Primeiro, identifique a base e a altura do triângulo:
  • A base está no eixo de a , com comprimento cm.
  • A altura está no eixo de a , com comprimento cm.
A área de um triângulo é dada por:
Á
Substituindo os valores:
Á

Passo 5

Agora que temos a área de , podemos calcular o fluxo:
O sinal negativo indica que o fluxo está entrando na região , mas como a questão pede a taxa de escoamento para fora, consideramos o valor positivo.

Resposta

A taxa de escoamento do fluido para fora da região é .

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