Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região D, limitada pelo arco de curva C dado, se F for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo e a área de D seja medida em centímetros quadrados.
c) F(x, y) = x^3 i + y^3 j, C é a circunferência x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a taxa de escoamento do fluido que sai de uma região , que está limitada por uma circunferência definida por . O campo de velocidades do fluido é dado por . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona o fluxo do campo através da fronteira com a divergência do campo dentro da região .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Aqui, e .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência fica:

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência. Segundo o teorema:
Sabemos que na circunferência , e essa é precisamente a equação da nossa região , que é um círculo de raio 1.

Passo 5

Vamos integrar sobre a região . Como em coordenadas polares, vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Lembrando que .

Passo 6

A integral fica:

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integremos em relação a :

Resposta

A taxa de escoamento do fluido para fora da região é centímetros cúbicos por segundo.

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