Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região
, limitada pelo arco de curva
dado, se
for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo
a área de
seja medida em centímetros quadrados.
c)
,
é a circunferência
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a taxa de escoamento do fluido que sai de uma região
, que está limitada por uma circunferência
definida por
. O campo de velocidades do fluido é dado por
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss), que relaciona o fluxo do campo através da fronteira
com a divergência do campo dentro da região
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência fica:
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência. Segundo o teorema:
Sabemos que
na circunferência
, e essa é precisamente a equação da nossa região
, que é um círculo de raio 1.
Passo 5
Vamos integrar
sobre a região
. Como
em coordenadas polares, vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a integração. Lembrando que
.
Passo 6
A integral fica:
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integremos em relação a
:
Resposta
A taxa de escoamento do fluido para fora da região
é
centímetros cúbicos por segundo.
Exercícios relacionados
Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região
, limitada pelo arco de curva
dado, se
for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo
a área de
seja medida em centímetros quadrados.
b) ,
é o triângulo retângulo com vértices em
.
b)
Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região
, limitada pelo arco de curva
dado, se
for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo
a área de
seja medida em centímetros quadrados.
a) é a elipse
.
a)
Ache
e
se
.
Determine a área da superfície.
a) A parte do paraboloide hiperbólico que está entre os cilindros
e
.
a) A parte do paraboloide hiperbólico