Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região , limitada pelo arco de curva dado, se for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo a área de seja medida em centímetros quadrados.
a) é a elipse .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar a taxa de escoamento do fluido saindo de uma região , que é delimitada por uma elipse . A gente vai usar Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva com uma integral dupla sobre a área que ela delimita. Vamos precisar das componentes do campo de velocidade e da equação da elipse .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que para o cálculo da taxa de escoamento (fluxo) é dado por:
Onde . No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do fluxo:
Passo 4
Agora, precisamos definir os limites de integração para a região , que é uma elipse . Podemos simplificar mudando para coordenadas elípticas. Dividindo a equação da elipse por 4:
Isso nos sugere usar uma troca de variável onde e , com indo de 0 a 1 e de 0 a .
Passo 5
Calculando o elemento de área na nova coordenada:
Onde é o determinante jacobiano da transformação. Calculando:
Então,
Portanto, .
Passo 6
Agora, expressamos a função sob a integral em coordenadas e :
Substituindo na integral:
Passo 7
Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos em relação a :
Portanto, o fluxo total é:
Resposta
A taxa de escoamento do fluido para fora da região é 0 cm³/s.