Determine a área da superfície.
a) A parte do paraboloide hiperbólico z = y^2 - x^2 que está entre os cilindros x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 * (pi / 6) * (17 * raiz(17) - 5 * raiz(5)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície do paraboloide hiperbólico dado por que está entre dois cilindros: um com raio 1 ( ) e outro com raio 2 ( ). Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas para determinar a área da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área da superfície de uma função é dada pela fórmula:
Aqui, é a região no plano sobre a qual estamos calculando a área.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Agora, substituindo na fórmula da área:

Passo 4

A região está entre os cilindros e . É mais fácil resolver essa integral em coordenadas polares, onde e . Nessas coordenadas, , então os limites de vão de 1 a 2, e vai de 0 a .
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é .

Passo 5

Substituindo tudo isso na integral, temos:
Vamos resolver a integral interna em relação a primeiro.

Passo 6

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então , o que implica que .
Quando , .
Quando , .
Então, a integral interna fica:

Passo 7

Integrando :
Calculando e :
Então:

Passo 8

Agora, precisamos multiplicar isso pela integral externa, que é em relação a de 0 a :
Simplificando:

Resposta

A área da superfície é .

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