Determine a área da superfície.
a) A parte do paraboloide hiperbólico
que está entre os cilindros
e
.
a) A parte do paraboloide hiperbólico
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície do paraboloide hiperbólico dado por
que está entre dois cilindros: um com raio 1 (
) e outro com raio 2 (
). Para isso, vamos usar cálculo de integrais duplas para determinar a área da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área da superfície de uma função
é dada pela fórmula:
Aqui,
é a região no plano
sobre a qual estamos calculando a área.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Agora, substituindo na fórmula da área:
Passo 4
A região
está entre os cilindros
e
. É mais fácil resolver essa integral em coordenadas polares, onde
e
. Nessas coordenadas,
, então os limites de
vão de 1 a 2, e
vai de 0 a
.
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Passo 5
Substituindo tudo isso na integral, temos:
Vamos resolver a integral interna em relação a
primeiro.
Passo 6
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, o que implica que
.
Quando
,
.
Quando
,
.
Então, a integral interna fica:
Passo 7
Integrando
:
Calculando
e
:
Então:
Passo 8
Agora, precisamos multiplicar isso pela integral externa, que é em relação a
de 0 a
:
Simplificando:
Resposta
A área da superfície é
.
Exercícios relacionados
Ache
e
se
.
Ache a taxa de escoamento do fluido para fora de uma região
, limitada pelo arco de curva
dado, se
for o campo de velocidades do fluido. Suponha que a velocidade seja medida em centímetros por segundo
a área de
seja medida em centímetros quadrados.
c) ,
é a circunferência
.
c)
Resolva as seguintes desigualdades:
e)
e)
Determine a área da superfície.
b) O helicoide (ou rampa espiral) com equação vetorial ,
.
b) O helicoide (ou rampa espiral) com equação vetorial