Ache todas as possiveis formas canônicas de Jordan de um operador linear cujo polinômio caracteristico e e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear cujo polinômio característico é . Nosso objetivo é encontrar todas as possíveis formas canônicas de Jordan desse operador.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente formas canônicas de Jordan e polinômio característico.
O que precisamos para resolver: Saber como construir a forma de Jordan a partir do polinômio característico, entender multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores, e como essas multiplicidades afetam a estrutura da matriz de Jordan.

Passo 2

Vamos começar identificando os autovalores e suas respectivas multiplicidades algébricas a partir do polinômio característico.
O polinômico nos diz que os autovalores são:
  • com multiplicidade algébrica 2.
  • com multiplicidade algébrica 3.
Teoria aplicada: A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Isso nos ajuda a determinar o número de blocos de Jordan que podem existir para cada autovalor.

Passo 3

Agora, precisamos determinar as multiplicidades geométricas de cada autovalor, ou seja, a dimensão do espaço nulo de para cada .
Multiplicidade geométrica: É o número de vetores próprios linearmente independentes para um autovalor, e está sempre entre 1 e a multiplicidade algébrica.
Como o enunciado não fornece essa informação, consideraremos os casos possíveis para cada autovalor.

Passo 4

Vamos analisar os possíveis blocos de Jordan para cada autovalor.
Para com multiplicidade algébrica 2:
  • Caso 1: Multiplicidade geométrica 2.
    • Isso significa que temos dois blocos de tamanho 1.
    • Blocos: e .
  • Caso 2: Multiplicidade geométrica 1.
    • Isso significa que temos um bloco de tamanho 2.
    • Bloco: .
Para com multiplicidade algébrica 3:
  • Caso 1: Multiplicidade geométrica 3.
    • Três blocos de tamanho 1.
    • Blocos: , , .
  • Caso 2: Multiplicidade geométrica 2.
    • Um bloco de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1.
    • Blocos: e .
  • Caso 3: Multiplicidade geométrica 1.
    • Um bloco de tamanho 3.
    • Bloco: .

Passo 5

Agora, vamos combinar as diferentes possibilidades de blocos para os autovalores e para formar todas as formas canônicas de Jordan possíveis.
Combinações possíveis:
  1. com dois blocos de tamanho 1 e com três blocos de tamanho 1:
  2. com dois blocos de tamanho 1 e com um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1:
  3. com dois blocos de tamanho 1 e com um bloco de tamanho 3:
  4. com um bloco de tamanho 2 e com três blocos de tamanho 1:
  5. com um bloco de tamanho 2 e com um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1:
  6. com um bloco de tamanho 2 e com um bloco de tamanho 3:

Passo 6

Pronto! Agora listamos todas as possíveis formas canônicas de Jordan para o operador com o polinômio característico dado.

Resposta

As possíveis formas canônicas de Jordan de são:
Cada uma dessas matrizes representa uma possível forma canônica de Jordan para o operador dado o polinômio característico fornecido.

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Considere as seguintes bases de :
e
Encontre sabendo que .
Seja definida por
c) Qual a matriz de mudança da base canônica do para ?
Seja J uma matriz de Jordan cujos termos da diagonal são iguais a .
a) Ache .
Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de e
c)