Ache todas as possiveis formas canônicas de Jordan de um operador linear cujo polinômio caracteristico e e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear cujo polinômio característico é . Nosso objetivo é encontrar todas as possíveis formas canônicas de Jordan desse operador.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente formas canônicas de Jordan e polinômio característico.
O que precisamos para resolver: Saber como construir a forma de Jordan a partir do polinômio característico, entender multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores, e como essas multiplicidades afetam a estrutura da matriz de Jordan.
Passo 2
Vamos começar identificando os autovalores e suas respectivas multiplicidades algébricas a partir do polinômio característico.
O polinômico nos diz que os autovalores são:
com multiplicidade algébrica 2.
com multiplicidade algébrica 3.
Teoria aplicada: A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Isso nos ajuda a determinar o número de blocos de Jordan que podem existir para cada autovalor.
Passo 3
Agora, precisamos determinar as multiplicidades geométricas de cada autovalor, ou seja, a dimensão do espaço nulo de para cada .
Multiplicidade geométrica: É o número de vetores próprios linearmente independentes para um autovalor, e está sempre entre 1 e a multiplicidade algébrica.
Como o enunciado não fornece essa informação, consideraremos os casos possíveis para cada autovalor.
Passo 4
Vamos analisar os possíveis blocos de Jordan para cada autovalor.
Para com multiplicidade algébrica 2:
Caso 1: Multiplicidade geométrica 2.
Isso significa que temos dois blocos de tamanho 1.
Blocos: e .
Caso 2: Multiplicidade geométrica 1.
Isso significa que temos um bloco de tamanho 2.
Bloco: .
Para com multiplicidade algébrica 3:
Caso 1: Multiplicidade geométrica 3.
Três blocos de tamanho 1.
Blocos: , , .
Caso 2: Multiplicidade geométrica 2.
Um bloco de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1.
Blocos: e .
Caso 3: Multiplicidade geométrica 1.
Um bloco de tamanho 3.
Bloco: .
Passo 5
Agora, vamos combinar as diferentes possibilidades de blocos para os autovalores e para formar todas as formas canônicas de Jordan possíveis.
Combinações possíveis:
com dois blocos de tamanho 1 e com três blocos de tamanho 1:
com dois blocos de tamanho 1 e com um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1:
com dois blocos de tamanho 1 e com um bloco de tamanho 3:
com um bloco de tamanho 2 e com três blocos de tamanho 1:
com um bloco de tamanho 2 e com um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1:
com um bloco de tamanho 2 e com um bloco de tamanho 3:
Passo 6
Pronto! Agora listamos todas as possíveis formas canônicas de Jordan para o operador com o polinômio característico dado.
Resposta
As possíveis formas canônicas de Jordan de são:
Cada uma dessas matrizes representa uma possível forma canônica de Jordan para o operador dado o polinômio característico fornecido.