Ache todas as possiveis formas canônicas de Jordan de um operador linear T cujo polinômio caracteristico e e PT(t)=(t+1)^2 cdot(t-2)^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um operador linear cujo polinômio característico é . Nosso objetivo é encontrar todas as possíveis formas canônicas de Jordan desse operador.
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente formas canônicas de Jordan e polinômio característico.
O que precisamos para resolver: Saber como construir a forma de Jordan a partir do polinômio característico, entender multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores, e como essas multiplicidades afetam a estrutura da matriz de Jordan.

Passo 2

Vamos começar identificando os autovalores e suas respectivas multiplicidades algébricas a partir do polinômio característico.
O polinômico nos diz que os autovalores são:
  • com multiplicidade algébrica 2.
  • com multiplicidade algébrica 3.
Teoria aplicada: A multiplicidade algébrica de um autovalor é o número de vezes que ele aparece como raiz do polinômio característico. Isso nos ajuda a determinar o número de blocos de Jordan que podem existir para cada autovalor.

Passo 3

Agora, precisamos determinar as multiplicidades geométricas de cada autovalor, ou seja, a dimensão do espaço nulo de para cada .
Multiplicidade geométrica: É o número de vetores próprios linearmente independentes para um autovalor, e está sempre entre 1 e a multiplicidade algébrica.
Como o enunciado não fornece essa informação, consideraremos os casos possíveis para cada autovalor.

Passo 4

Vamos analisar os possíveis blocos de Jordan para cada autovalor.
Para -1 com multiplicidade algébrica 2:
  • Caso 1: Multiplicidade geométrica 2.
    • Isso significa que temos dois blocos de tamanho 1.
    • Blocos: -1 e -1 & 1 0 & -1 .
  • Caso 2: Multiplicidade geométrica 1.
    • Isso significa que temos um bloco de tamanho 2.
    • Bloco: 2 .
Para 2 com multiplicidade algébrica 3:
  • Caso 1: Multiplicidade geométrica 3.
    • Três blocos de tamanho 1.
    • Blocos: 2 , 2 & 1 0 & 2 , 2 .
  • Caso 2: Multiplicidade geométrica 2.
    • Um bloco de tamanho 2 e um bloco de tamanho 1.
    • Blocos: 2 & 1 & 0 0 & 2 & 1 0 & 0 & 2 e .
  • Caso 3: Multiplicidade geométrica 1.
    • Um bloco de tamanho 3.
    • Bloco: .

Passo 5

Agora, vamos combinar as diferentes possibilidades de blocos para os autovalores J = -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2 e J = -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2 para formar todas as formas canônicas de Jordan possíveis.
Combinações possíveis:
  1. J = -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2 com dois blocos de tamanho 1 e J = -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2 com três blocos de tamanho 1:
    J = -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2
  2. J = -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2 com dois blocos de tamanho 1 e com um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1:
  3. com dois blocos de tamanho 1 e com um bloco de tamanho 3:
  4. com um bloco de tamanho 2 e com três blocos de tamanho 1:
  5. com um bloco de tamanho 2 e com um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1:
  6. com um bloco de tamanho 2 e com um bloco de tamanho 3:

Passo 6

Pronto! Agora listamos todas as possíveis formas canônicas de Jordan para o operador com o polinômio característico dado.

Resposta

As possíveis formas canônicas de Jordan de -1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2 são:
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 2
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 2
Cada uma dessas matrizes representa uma possível forma canônica de Jordan para o operador dado o polinômio característico fornecido.

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