Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de A=[cc4 & 0 -2 & -2], B=[cc1 & -1 2 & 3] e C=[ll0 & 2 1 & 4]
c) [ll6 & 0 3 & 8]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a matriz 6 & 0 3 & 8 pode ser formada combinando linearmente as matrizes A, B e C. Isso está dentro da matéria de combinações lineares de matrizes. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações onde multiplicamos cada matriz por um coeficiente e igualamos à matriz que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a combinação linear:
xA + yB + zC = 6 & 0 3 & 8
Isso significa:
x4 & 0 -2 & -2 + y1 & -1 2 & 3 + z0 & 2 1 & 4 = 6 & 0 3 & 8

Passo 3

Vamos multiplicar cada termo:
4x & 0x -2x & -2x + y & -y 2y & 3y + 0z & 2z z & 4z = 6 & 0 3 & 8
Somando as matrizes:
4x + y + 0z & 0x - y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z = 6 & 0 3 & 8

Passo 4

Agora, igualamos cada posi�o:
  1. 4x + y = 6 (posição [1,1])
  2. -y + 2z = 0 (posição [1,2])
  3. -2x + 2y + z = 3 (posição [2,1])
  4. -2x + 3y + 4z = 8 (posição [2,2])

Passo 5

Vamos resolver o sistema. Começamos pela equação 2:
-y + 2z = 0 Rightarrow y = 2z

Passo 6

Substituímos y = 2z na equação 1:
4x + 2z = 6 Rightarrow 4x = 6 - 2z Rightarrow x = 6 - 2z4 = 3 - z2

Passo 7

Agora, substituímos x = 3 - z2 e y = 2z na equação 3:
-2(3 - z2) + 2(2z) + z = 3
Simplificando:
-(3 - z) + 4z + z = 3 Rightarrow -3 + z + 4z + z = 3 Rightarrow 6z - 3 = 3
6z = 6 Rightarrow z = 1

Passo 8

Com z = 1, encontramos y = 2z = 2(1) = 2 e x = 3 - 12 = 1

Passo 9

Vamos verificar na equação 4 para confirmar:
-2(1) + 3(2) + 4(1) = -2 + 6 + 4 = 8
Está certo!

Resposta

Sim, a matriz 6 & 0 3 & 8 é uma combinação linear de A, B e C com x = 1, y = 2 e z = 1. Ou seja:
1A + 2B + 1C = 6 & 0 3 & 8

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