Seja A in L(R^3) definida por A(x, y, z)=(x+y+z, x+y+z, x+y+z)
c) Qual a matriz de mudança da base canônica do R^3 para B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de álgebra linear onde temos uma transformação linear A(x, y, z) = (x+y+z, x+y+z, x+y+z) definida em por:
E a parte © pergunta: Qual a matriz de mudança da base canônica do para ?
Aqui, vamos usar conceitos de mudança de base e transformar as coordenadas da base padrão para uma nova base . Para isso, vamos precisar saber quais são os vetores que formam a base .

Passo 2

Primeiro, o que é uma mudança de base? Em álgebra linear, uma mudança de base é uma maneira de converter as coordenadas de um vetor de uma base para outra. A matriz de mudança de base facilita essa conversão.

Passo 3

Como encontrar a matriz de mudança de base? Se você tem uma base nova composta por vetores , a matriz de mudança de base da base canônica para é formada colocando esses vetores como colunas na matriz.

Passo 4

Vamos supor que a base b1 = b11 b21 b31 , b2 = b12 b22 b32 , b3 = b13 b23 b33 seja composta pelos vetores:
P = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33
Então, a matriz de mudança de base da base canônica para será:

Passo 5

Por que colocamos os vetores da base como colunas? Isso porque cada coluna da matriz de mudança de base representa um vetor da nova base expressa na base antiga (no caso, a base canônica). Assim, ao multiplicar essa matriz por um vetor nas coordenadas canônicas, você obtém as coordenadas desse vetor na base .

Resposta

A matriz de mudança da base canônica do P = b11 & b12 & b13 b21 & b22 & b23 b31 & b32 & b33 para é formada colocando os vetores de como colunas. Se , então:

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