Seja J uma matriz de Jordan cujos termos da diagonal são iguais a
.
a) Ache
.
a) Ache
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido. Temos uma matriz de Jordan
, onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a
. Nosso objetivo é encontrar o polinômico característico
dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes de Jordan e polinômios característicos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o polinômico característico de uma matriz
é dado por:
onde
é a matriz identidade de mesma dimensão que
. Nosso foco é calcular esse determinante para a matriz
.
Passo 3
Uma matriz de Jordan com elementos da diagonal iguais a
e 1 nas superdiagonais tem uma estrutura específica. Se
for uma matriz
, então
será uma matriz com
na diagonal principal,
nas superdiagonais e 0 nos demais elementos.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz
. Uma propriedade importante das matrizes de Jordan é que o determinante de
para uma matriz de Jordan com valor próprio
é:
onde
é a dimensão da matriz.
Passo 5
Essa propriedade nos dá diretamente o polinômico característico de
. Portanto, usamos a fórmula acima para concluir o cálculo.
Resposta
O polinômio característico de
é: