Seja J uma matriz de Jordan cujos termos da diagonal são iguais a .
a) Ache .
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido. Temos uma matriz de Jordan , onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a . Nosso objetivo é encontrar o polinômico característico dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes de Jordan e polinômios característicos.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o polinômico característico de uma matriz é dado por:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que . Nosso foco é calcular esse determinante para a matriz .
Passo 3
Uma matriz de Jordan com elementos da diagonal iguais a e 1 nas superdiagonais tem uma estrutura específica. Se for uma matriz , então será uma matriz com na diagonal principal, nas superdiagonais e 0 nos demais elementos.
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . Uma propriedade importante das matrizes de Jordan é que o determinante de para uma matriz de Jordan com valor próprio é:
onde é a dimensão da matriz.
Passo 5
Essa propriedade nos dá diretamente o polinômico característico de . Portanto, usamos a fórmula acima para concluir o cálculo.