Seja J uma matriz de Jordan cujos termos da diagonal são iguais a .
a) Ache .

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido. Temos uma matriz de Jordan , onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a . Nosso objetivo é encontrar o polinômico característico dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes de Jordan e polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o polinômico característico de uma matriz é dado por:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que . Nosso foco é calcular esse determinante para a matriz .

Passo 3

Uma matriz de Jordan com elementos da diagonal iguais a e 1 nas superdiagonais tem uma estrutura específica. Se for uma matriz , então será uma matriz com na diagonal principal, nas superdiagonais e 0 nos demais elementos.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . Uma propriedade importante das matrizes de Jordan é que o determinante de para uma matriz de Jordan com valor próprio é:
onde é a dimensão da matriz.

Passo 5

Essa propriedade nos dá diretamente o polinômico característico de . Portanto, usamos a fórmula acima para concluir o cálculo.

Resposta

O polinômio característico de é:

Exercícios relacionados

Ache todas as possiveis formas canônicas de Jordan de um operador linear cujo polinômio caracteristico e e .
Considere as seguintes bases de :
e
Encontre sabendo que .
Determine quais das matrizes abaixo são combinação linear de e
c)
Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.