Seja J uma matriz de Jordan cujos termos da diagonal são iguais a lambda.
a) Ache pJ(t).

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido. Temos uma matriz de Jordan , onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a . Nosso objetivo é encontrar o polinômico característico dessa matriz. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a matrizes de Jordan e polinômios característicos.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o polinômico característico de uma matriz pA(t) = det(tI - A) é dado por:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que . Nosso foco é calcular esse determinante para a matriz .

Passo 3

Uma matriz de Jordan com elementos da diagonal iguais a e 1 nas superdiagonais tem uma estrutura específica. Se for uma matriz , então será uma matriz com na diagonal principal, nas superdiagonais e 0 nos demais elementos.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(tI - J) = (t - lambda)^n . Uma propriedade importante das matrizes de Jordan é que o determinante de para uma matriz de Jordan com valor próprio é:
onde é a dimensão da matriz.

Passo 5

Essa propriedade nos dá diretamente o polinômico característico de . Portanto, usamos a fórmula acima para concluir o cálculo.

Resposta

O polinômio característico de pJ(t) = (t - lambda)^n é:

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